Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57545 / 85027
↖ ↑ ↗
← S 47.105654°
W 21.947937°		 ← 207.84 m → S 47.105654°
W 21.945191°		 →
↑
207.82 m
↓
↑
207.82 m
↓
S 47.107522°
W 21.947937°		 ← 207.84 m →
43 194 m²		 S 47.107522°
W 21.945191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439037322998047 y=0.648708343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439037322998047 × 217)
    floor (0.439037322998047 × 131072)
    floor (57545.5)     		tx = 57545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648708343505859 × 217)
    floor (0.648708343505859 × 131072)
    floor (85027.5)     		ty = 85027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57545 / 85027 ti = "17/57545/85027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57545/85027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57545 ÷ 217
    57545 ÷ 131072     		x = 0.439033508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85027 ÷ 217
    85027 ÷ 131072     		y = 0.648704528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439033508300781 × 2 - 1) × π
    -0.121932983398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38306376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648704528808594 × 2 - 1) × π
    -0.297409057617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.934338110494514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38306376} λ = -0.38306376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934338110494514))-π/2
    2×atan(0.392845800010378)-π/2
    2×0.374323789680299-π/2
    0.748647579360598-1.57079632675     		φ = -0.82214875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38306376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.947937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82214875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.105654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57545 KachelY 85027 -0.38306376 -0.82214875 -21.947937 -47.105654
    Oben rechts KachelX + 1 57546 KachelY 85027 -0.38301583 -0.82214875 -21.945191 -47.105654
    Unten links KachelX 57545 KachelY + 1 85028 -0.38306376 -0.82218137 -21.947937 -47.107522
    Unten rechts KachelX + 1 57546 KachelY + 1 85028 -0.38301583 -0.82218137 -21.945191 -47.107522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82214875--0.82218137) × R
    3.26200000000387e-05 × 6371000     		dl = 207.822020000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82214875--0.82218137) × R
    3.26200000000387e-05 × 6371000     		dr = 207.822020000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38306376--0.38301583) × cos(-0.82214875) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.680648583944721 × 6371000     		do = 207.844233309872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38306376--0.38301583) × cos(-0.82218137) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.680624685842326 × 6371000     		du = 207.836935736811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82214875)-sin(-0.82218137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680648583944721-0.680624685842326)×R²
    abs(-0.38301583--0.38306376)×2.38981023948925e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38981023948925e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38981023948925e-05×40589641000000     		ar = 43193.8501174783m²