Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57545 / 81270
↖ ↑ ↗
← S 39.618384°
W 21.947937°		 ← 235.22 m → S 39.618384°
W 21.945191°		 →
↑
235.22 m
↓
↑
235.22 m
↓
S 39.620499°
W 21.947937°		 ← 235.22 m →
55 328 m²		 S 39.620499°
W 21.945191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439037322998047 y=0.620044708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439037322998047 × 217)
    floor (0.439037322998047 × 131072)
    floor (57545.5)     		tx = 57545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620044708251953 × 217)
    floor (0.620044708251953 × 131072)
    floor (81270.5)     		ty = 81270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57545 / 81270 ti = "17/57545/81270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57545/81270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57545 ÷ 217
    57545 ÷ 131072     		x = 0.439033508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81270 ÷ 217
    81270 ÷ 131072     		y = 0.620040893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439033508300781 × 2 - 1) × π
    -0.121932983398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38306376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620040893554688 × 2 - 1) × π
    -0.240081787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.754239178621964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38306376} λ = -0.38306376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754239178621964))-π/2
    2×atan(0.470368344921261)-π/2
    2×0.439662544002292-π/2
    0.879325088004583-1.57079632675     		φ = -0.69147124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38306376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.947937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69147124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.618384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57545 KachelY 81270 -0.38306376 -0.69147124 -21.947937 -39.618384
    Oben rechts KachelX + 1 57546 KachelY 81270 -0.38301583 -0.69147124 -21.945191 -39.618384
    Unten links KachelX 57545 KachelY + 1 81271 -0.38306376 -0.69150816 -21.947937 -39.620499
    Unten rechts KachelX + 1 57546 KachelY + 1 81271 -0.38301583 -0.69150816 -21.945191 -39.620499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69147124--0.69150816) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dl = 235.217319999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69147124--0.69150816) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dr = 235.217319999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38306376--0.38301583) × cos(-0.69147124) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.770308681671957 × 6371000     		do = 235.223022761844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38306376--0.38301583) × cos(-0.69150816) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.770285138326965 × 6371000     		du = 235.215833518224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69147124)-sin(-0.69150816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770308681671957-0.770285138326965)×R²
    abs(-0.38301583--0.38306376)×2.35433449917721e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35433449917721e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35433449917721e-05×40589641000000     		ar = 55327.6835053526m²