Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57544 / 87478
↖ ↑ ↗
← S 51.491645°
W 21.950683°		 ← 190.17 m → S 51.491645°
W 21.947937°		 →
↑
190.11 m
↓
↑
190.11 m
↓
S 51.493355°
W 21.950683°		 ← 190.16 m →
36 152 m²		 S 51.493355°
W 21.947937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439029693603516 y=0.667407989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439029693603516 × 217)
    floor (0.439029693603516 × 131072)
    floor (57544.5)     		tx = 57544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667407989501953 × 217)
    floor (0.667407989501953 × 131072)
    floor (87478.5)     		ty = 87478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57544 / 87478 ti = "17/57544/87478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57544/87478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57544 ÷ 217
    57544 ÷ 131072     		x = 0.43902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87478 ÷ 217
    87478 ÷ 131072     		y = 0.667404174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38311170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667404174804688 × 2 - 1) × π
    -0.334808349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05183145146327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38311170} λ = -0.38311170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05183145146327))-π/2
    2×atan(0.349297441633502)-π/2
    2×0.336048795145108-π/2
    0.672097590290216-1.57079632675     		φ = -0.89869874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38311170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.950683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89869874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.491645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57544 KachelY 87478 -0.38311170 -0.89869874 -21.950683 -51.491645
    Oben rechts KachelX + 1 57545 KachelY 87478 -0.38306376 -0.89869874 -21.947937 -51.491645
    Unten links KachelX 57544 KachelY + 1 87479 -0.38311170 -0.89872858 -21.950683 -51.493355
    Unten rechts KachelX + 1 57545 KachelY + 1 87479 -0.38306376 -0.89872858 -21.947937 -51.493355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89869874--0.89872858) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dl = 190.110639999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89869874--0.89872858) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dr = 190.110639999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38311170--0.38306376) × cos(-0.89869874) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.622628753678384 × 6371000     		do = 190.166847837594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38311170--0.38306376) × cos(-0.89872858) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62260540308285 × 6371000     		du = 190.159715964673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89869874)-sin(-0.89872858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622628753678384-0.62260540308285)×R²
    abs(-0.38306376--0.38311170)×2.3350595533711e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3350595533711e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3350595533711e-05×40589641000000     		ar = 36152.0632293461m²