Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57543 / 85029
↖ ↑ ↗
← S 47.109392°
W 21.953430°		 ← 207.87 m → S 47.109392°
W 21.950683°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
S 47.111262°
W 21.953430°		 ← 207.87 m →
43 213 m²		 S 47.111262°
W 21.950683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439022064208984 y=0.648723602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439022064208984 × 217)
    floor (0.439022064208984 × 131072)
    floor (57543.5)     		tx = 57543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648723602294922 × 217)
    floor (0.648723602294922 × 131072)
    floor (85029.5)     		ty = 85029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57543 / 85029 ti = "17/57543/85029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57543/85029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57543 ÷ 217
    57543 ÷ 131072     		x = 0.439018249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85029 ÷ 217
    85029 ÷ 131072     		y = 0.648719787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439018249511719 × 2 - 1) × π
    -0.121963500976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38315964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648719787597656 × 2 - 1) × π
    -0.297439575195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.934433984293755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38315964} λ = -0.38315964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934433984293755))-π/2
    2×atan(0.392808138196435)-π/2
    2×0.374291162643231-π/2
    0.748582325286462-1.57079632675     		φ = -0.82221400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38315964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.953430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82221400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.109392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57543 KachelY 85029 -0.38315964 -0.82221400 -21.953430 -47.109392
    Oben rechts KachelX + 1 57544 KachelY 85029 -0.38311170 -0.82221400 -21.950683 -47.109392
    Unten links KachelX 57543 KachelY + 1 85030 -0.38315964 -0.82224663 -21.953430 -47.111262
    Unten rechts KachelX + 1 57544 KachelY + 1 85030 -0.38311170 -0.82224663 -21.950683 -47.111262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82221400--0.82224663) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dl = 207.88572999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82221400--0.82224663) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dr = 207.88572999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38315964--0.38311170) × cos(-0.82221400) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.680600779689158 × 6371000     		do = 207.872996781242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38315964--0.38311170) × cos(-0.82224663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.680576872811342 × 6371000     		du = 207.865695005395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82221400)-sin(-0.82224663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680600779689158-0.680576872811342)×R²
    abs(-0.38311170--0.38315964)×2.39068778151719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39068778151719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39068778151719e-05×40589641000000     		ar = 43213.0707193339m²