Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57542 / 85716
↖ ↑ ↗
← S 48.378145°
W 21.956177°		 ← 202.87 m → S 48.378145°
W 21.953430°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
S 48.379970°
W 21.956177°		 ← 202.86 m →
41 151 m²		 S 48.379970°
W 21.953430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439014434814453 y=0.653964996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439014434814453 × 217)
    floor (0.439014434814453 × 131072)
    floor (57542.5)     		tx = 57542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653964996337891 × 217)
    floor (0.653964996337891 × 131072)
    floor (85716.5)     		ty = 85716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57542 / 85716 ti = "17/57542/85716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57542/85716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57542 ÷ 217
    57542 ÷ 131072     		x = 0.439010620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85716 ÷ 217
    85716 ÷ 131072     		y = 0.653961181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439010620117188 × 2 - 1) × π
    -0.121978759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38320758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.30792236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.967366634332733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38320758} λ = -0.38320758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967366634332733))-π/2
    2×atan(0.380082617912918)-π/2
    2×0.363219201178564-π/2
    0.726438402357128-1.57079632675     		φ = -0.84435792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38320758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.956177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84435792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.378145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57542 KachelY 85716 -0.38320758 -0.84435792 -21.956177 -48.378145
    Oben rechts KachelX + 1 57543 KachelY 85716 -0.38315964 -0.84435792 -21.953430 -48.378145
    Unten links KachelX 57542 KachelY + 1 85717 -0.38320758 -0.84438976 -21.956177 -48.379970
    Unten rechts KachelX + 1 57543 KachelY + 1 85717 -0.38315964 -0.84438976 -21.953430 -48.379970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84435792--0.84438976) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dl = 202.852640000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84435792--0.84438976) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dr = 202.852640000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38320758--0.38315964) × cos(-0.84435792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664211402928441 × 6371000     		do = 202.867259255724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38320758--0.38315964) × cos(-0.84438976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664187600765665 × 6371000     		du = 202.859989462545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84435792)-sin(-0.84438976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664211402928441-0.664187600765665)×R²
    abs(-0.38315964--0.38320758)×2.38021627757545e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38021627757545e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38021627757545e-05×40589641000000     		ar = 41151.4217647034m²