Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57542 / 84850
↖ ↑ ↗
← S 46.773730°
W 21.956177°		 ← 209.18 m → S 46.773730°
W 21.953430°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
S 46.775612°
W 21.956177°		 ← 209.17 m →
43 765 m²		 S 46.775612°
W 21.953430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439014434814453 y=0.647357940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439014434814453 × 217)
    floor (0.439014434814453 × 131072)
    floor (57542.5)     		tx = 57542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647357940673828 × 217)
    floor (0.647357940673828 × 131072)
    floor (84850.5)     		ty = 84850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57542 / 84850 ti = "17/57542/84850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57542/84850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57542 ÷ 217
    57542 ÷ 131072     		x = 0.439010620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84850 ÷ 217
    84850 ÷ 131072     		y = 0.647354125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439010620117188 × 2 - 1) × π
    -0.121978759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38320758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647354125976562 × 2 - 1) × π
    -0.294708251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.925853279261765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38320758} λ = -0.38320758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925853279261765))-π/2
    2×atan(0.396193211351797)-π/2
    2×0.377220361065942-π/2
    0.754440722131884-1.57079632675     		φ = -0.81635560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38320758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.956177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81635560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.773730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57542 KachelY 84850 -0.38320758 -0.81635560 -21.956177 -46.773730
    Oben rechts KachelX + 1 57543 KachelY 84850 -0.38315964 -0.81635560 -21.953430 -46.773730
    Unten links KachelX 57542 KachelY + 1 84851 -0.38320758 -0.81638844 -21.956177 -46.775612
    Unten rechts KachelX + 1 57543 KachelY + 1 84851 -0.38315964 -0.81638844 -21.953430 -46.775612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81635560--0.81638844) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dl = 209.223640000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81635560--0.81638844) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dr = 209.223640000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38320758--0.38315964) × cos(-0.81635560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684881258744021 × 6371000     		do = 209.180365263887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38320758--0.38315964) × cos(-0.81638844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684857329354602 × 6371000     		du = 209.173056612416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81635560)-sin(-0.81638844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684881258744021-0.684857329354602)×R²
    abs(-0.38315964--0.38320758)×2.39293894195303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39293894195303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39293894195303e-05×40589641000000     		ar = 43764.7128697362m²