Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57541 / 87278
↖ ↑ ↗
← S 51.148341°
W 21.958923°		 ← 191.56 m → S 51.148341°
W 21.956177°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
S 51.150063°
W 21.958923°		 ← 191.55 m →
36 697 m²		 S 51.150063°
W 21.956177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439006805419922 y=0.665882110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439006805419922 × 217)
    floor (0.439006805419922 × 131072)
    floor (57541.5)     		tx = 57541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665882110595703 × 217)
    floor (0.665882110595703 × 131072)
    floor (87278.5)     		ty = 87278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57541 / 87278 ti = "17/57541/87278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57541/87278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57541 ÷ 217
    57541 ÷ 131072     		x = 0.439002990722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87278 ÷ 217
    87278 ÷ 131072     		y = 0.665878295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439002990722656 × 2 - 1) × π
    -0.121994018554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38325551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665878295898438 × 2 - 1) × π
    -0.331756591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04224407153926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38325551} λ = -0.38325551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04224407153926))-π/2
    2×atan(0.35266239367486)-π/2
    2×0.339044690527149-π/2
    0.678089381054298-1.57079632675     		φ = -0.89270695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38325551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.958923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89270695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.148341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57541 KachelY 87278 -0.38325551 -0.89270695 -21.958923 -51.148341
    Oben rechts KachelX + 1 57542 KachelY 87278 -0.38320758 -0.89270695 -21.956177 -51.148341
    Unten links KachelX 57541 KachelY + 1 87279 -0.38325551 -0.89273702 -21.958923 -51.150063
    Unten rechts KachelX + 1 57542 KachelY + 1 87279 -0.38320758 -0.89273702 -21.956177 -51.150063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89270695--0.89273702) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89270695--0.89273702) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38325551--0.38320758) × cos(-0.89270695) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.627306228744102 × 6371000     		do = 191.55550344106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38325551--0.38320758) × cos(-0.89273702) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.627282810765851 × 6371000     		du = 191.548352479683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89270695)-sin(-0.89273702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627306228744102-0.627282810765851)×R²
    abs(-0.38320758--0.38325551)×2.34179782503396e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34179782503396e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34179782503396e-05×40589641000000     		ar = 36696.7464071079m²