Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57541 / 85778
↖ ↑ ↗
← S 48.491127°
W 21.958923°		 ← 202.37 m → S 48.491127°
W 21.956177°		 →
↑
202.41 m
↓
↑
202.41 m
↓
S 48.492948°
W 21.958923°		 ← 202.37 m →
40 961 m²		 S 48.492948°
W 21.956177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439006805419922 y=0.654438018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439006805419922 × 217)
    floor (0.439006805419922 × 131072)
    floor (57541.5)     		tx = 57541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654438018798828 × 217)
    floor (0.654438018798828 × 131072)
    floor (85778.5)     		ty = 85778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57541 / 85778 ti = "17/57541/85778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57541/85778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57541 ÷ 217
    57541 ÷ 131072     		x = 0.439002990722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85778 ÷ 217
    85778 ÷ 131072     		y = 0.654434204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439002990722656 × 2 - 1) × π
    -0.121994018554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38325551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654434204101562 × 2 - 1) × π
    -0.308868408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.970338722109177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38325551} λ = -0.38325551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970338722109177))-π/2
    2×atan(0.378954656041328)-π/2
    2×0.362233250210808-π/2
    0.724466500421615-1.57079632675     		φ = -0.84632983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38325551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.958923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84632983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.491127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57541 KachelY 85778 -0.38325551 -0.84632983 -21.958923 -48.491127
    Oben rechts KachelX + 1 57542 KachelY 85778 -0.38320758 -0.84632983 -21.956177 -48.491127
    Unten links KachelX 57541 KachelY + 1 85779 -0.38325551 -0.84636160 -21.958923 -48.492948
    Unten rechts KachelX + 1 57542 KachelY + 1 85779 -0.38320758 -0.84636160 -21.956177 -48.492948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84632983--0.84636160) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dl = 202.406670000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84632983--0.84636160) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dr = 202.406670000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38325551--0.38320758) × cos(-0.84632983) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662736021468973 × 6371000     		do = 202.374416870013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38325551--0.38320758) × cos(-0.84636160) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66271223007152 × 6371000     		du = 202.36715188059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84632983)-sin(-0.84636160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662736021468973-0.66271223007152)×R²
    abs(-0.38320758--0.38325551)×2.37913974535653e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37913974535653e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37913974535653e-05×40589641000000     		ar = 40961.1965744353m²