Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57541 / 84851
↖ ↑ ↗
← S 46.775612°
W 21.958923°		 ← 209.13 m → S 46.775612°
W 21.956177°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
S 46.777493°
W 21.958923°		 ← 209.12 m →
43 727 m²		 S 46.777493°
W 21.956177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439006805419922 y=0.647365570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439006805419922 × 217)
    floor (0.439006805419922 × 131072)
    floor (57541.5)     		tx = 57541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647365570068359 × 217)
    floor (0.647365570068359 × 131072)
    floor (84851.5)     		ty = 84851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57541 / 84851 ti = "17/57541/84851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57541/84851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57541 ÷ 217
    57541 ÷ 131072     		x = 0.439002990722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84851 ÷ 217
    84851 ÷ 131072     		y = 0.647361755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439002990722656 × 2 - 1) × π
    -0.121994018554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38325551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647361755371094 × 2 - 1) × π
    -0.294723510742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.925901216161385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38325551} λ = -0.38325551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925901216161385))-π/2
    2×atan(0.396174219532802)-π/2
    2×0.37720394581064-π/2
    0.75440789162128-1.57079632675     		φ = -0.81638844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38325551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.958923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81638844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.775612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57541 KachelY 84851 -0.38325551 -0.81638844 -21.958923 -46.775612
    Oben rechts KachelX + 1 57542 KachelY 84851 -0.38320758 -0.81638844 -21.956177 -46.775612
    Unten links KachelX 57541 KachelY + 1 84852 -0.38325551 -0.81642126 -21.958923 -46.777493
    Unten rechts KachelX + 1 57542 KachelY + 1 84852 -0.38320758 -0.81642126 -21.956177 -46.777493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81638844--0.81642126) × R
    3.28200000000445e-05 × 6371000     		dl = 209.096220000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81638844--0.81642126) × R
    3.28200000000445e-05 × 6371000     		dr = 209.096220000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38325551--0.38320758) × cos(-0.81638844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.684857329354602 × 6371000     		do = 209.129424352228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38325551--0.38320758) × cos(-0.81642126) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.68483341380058 × 6371000     		du = 209.122121450103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81638844)-sin(-0.81642126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684857329354602-0.68483341380058)×R²
    abs(-0.38320758--0.38325551)×2.39155540212588e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39155540212588e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39155540212588e-05×40589641000000     		ar = 43727.4086222367m²