Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57541 / 45237
↖ ↑ ↗
← N 48.594776°
W 21.958923°		 ← 201.96 m → N 48.594776°
W 21.956177°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
N 48.592959°
W 21.958923°		 ← 201.97 m →
40 802 m²		 N 48.592959°
W 21.956177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439006805419922 y=0.345134735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439006805419922 × 217)
    floor (0.439006805419922 × 131072)
    floor (57541.5)     		tx = 57541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345134735107422 × 217)
    floor (0.345134735107422 × 131072)
    floor (45237.5)     		ty = 45237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57541 / 45237 ti = "17/57541/45237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57541/45237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57541 ÷ 217
    57541 ÷ 131072     		x = 0.439002990722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45237 ÷ 217
    45237 ÷ 131072     		y = 0.345130920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439002990722656 × 2 - 1) × π
    -0.121994018554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38325551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345130920410156 × 2 - 1) × π
    0.309738159179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.97307112538752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38325551} λ = -0.38325551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97307112538752))-π/2
    2×atan(2.64605837059614)-π/2
    2×1.20946758143226-π/2
    2.41893516286451-1.57079632675     		φ = 0.84813884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38325551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.958923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84813884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.594776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57541 KachelY 45237 -0.38325551 0.84813884 -21.958923 48.594776
    Oben rechts KachelX + 1 57542 KachelY 45237 -0.38320758 0.84813884 -21.956177 48.594776
    Unten links KachelX 57541 KachelY + 1 45238 -0.38325551 0.84810713 -21.958923 48.592959
    Unten rechts KachelX + 1 57542 KachelY + 1 45238 -0.38320758 0.84810713 -21.956177 48.592959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84813884-0.84810713) × R
    3.17099999999071e-05 × 6371000     		dl = 202.024409999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84813884-0.84810713) × R
    3.17099999999071e-05 × 6371000     		dr = 202.024409999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38325551--0.38320758) × cos(0.84813884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661380255053635 × 6371000     		do = 201.960417285219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38325551--0.38320758) × cos(0.84810713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661404038831045 × 6371000     		du = 201.96767994777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84813884)-sin(0.84810713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661380255053635-0.661404038831045)×R²
    abs(-0.38320758--0.38325551)×2.37837774094141e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37837774094141e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37837774094141e-05×40589641000000     		ar = 40801.6677662849m²