Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57540 / 84862
↖ ↑ ↗
← S 46.796299°
W 21.961670°		 ← 209.09 m → S 46.796299°
W 21.958923°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
S 46.798179°
W 21.961670°		 ← 209.09 m →
43 706 m²		 S 46.798179°
W 21.958923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438999176025391 y=0.647449493408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438999176025391 × 217)
    floor (0.438999176025391 × 131072)
    floor (57540.5)     		tx = 57540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647449493408203 × 217)
    floor (0.647449493408203 × 131072)
    floor (84862.5)     		ty = 84862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57540 / 84862 ti = "17/57540/84862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57540/84862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57540 ÷ 217
    57540 ÷ 131072     		x = 0.438995361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84862 ÷ 217
    84862 ÷ 131072     		y = 0.647445678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.12200927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38330345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647445678710938 × 2 - 1) × π
    -0.294891357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.926428522057205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38330345} λ = -0.38330345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926428522057205))-π/2
    2×atan(0.39596536959981)-π/2
    2×0.37702341584511-π/2
    0.754046831690221-1.57079632675     		φ = -0.81674950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38330345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.961670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81674950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.796299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57540 KachelY 84862 -0.38330345 -0.81674950 -21.961670 -46.796299
    Oben rechts KachelX + 1 57541 KachelY 84862 -0.38325551 -0.81674950 -21.958923 -46.796299
    Unten links KachelX 57540 KachelY + 1 84863 -0.38330345 -0.81678231 -21.961670 -46.798179
    Unten rechts KachelX + 1 57541 KachelY + 1 84863 -0.38325551 -0.81678231 -21.958923 -46.798179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81674950--0.81678231) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81674950--0.81678231) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38330345--0.38325551) × cos(-0.81674950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684594188535795 × 6371000     		do = 209.092686633108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38330345--0.38325551) × cos(-0.81678231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684570272157392 × 6371000     		du = 209.085381955536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81674950)-sin(-0.81678231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684594188535795-0.684570272157392)×R²
    abs(-0.38325551--0.38330345)×2.391637840371e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.391637840371e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.391637840371e-05×40589641000000     		ar = 43706.4056560978m²