Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57539 / 87428
↖ ↑ ↗
← S 51.406059°
W 21.964417°		 ← 190.52 m → S 51.406059°
W 21.961670°		 →
↑
190.49 m
↓
↑
190.49 m
↓
S 51.407772°
W 21.964417°		 ← 190.52 m →
36 293 m²		 S 51.407772°
W 21.961670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438991546630859 y=0.667026519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438991546630859 × 217)
    floor (0.438991546630859 × 131072)
    floor (57539.5)     		tx = 57539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667026519775391 × 217)
    floor (0.667026519775391 × 131072)
    floor (87428.5)     		ty = 87428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57539 / 87428 ti = "17/57539/87428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57539/87428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57539 ÷ 217
    57539 ÷ 131072     		x = 0.438987731933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87428 ÷ 217
    87428 ÷ 131072     		y = 0.667022705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438987731933594 × 2 - 1) × π
    -0.122024536132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38335139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667022705078125 × 2 - 1) × π
    -0.33404541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04943460648227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38335139} λ = -0.38335139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04943460648227))-π/2
    2×atan(0.350135657588925)-π/2
    2×0.336795667360343-π/2
    0.673591334720687-1.57079632675     		φ = -0.89720499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38335139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.964417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89720499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.406059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57539 KachelY 87428 -0.38335139 -0.89720499 -21.964417 -51.406059
    Oben rechts KachelX + 1 57540 KachelY 87428 -0.38330345 -0.89720499 -21.961670 -51.406059
    Unten links KachelX 57539 KachelY + 1 87429 -0.38335139 -0.89723489 -21.964417 -51.407772
    Unten rechts KachelX + 1 57540 KachelY + 1 87429 -0.38330345 -0.89723489 -21.961670 -51.407772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89720499--0.89723489) × R
    2.99000000000271e-05 × 6371000     		dl = 190.492900000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89720499--0.89723489) × R
    2.99000000000271e-05 × 6371000     		dr = 190.492900000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38335139--0.38330345) × cos(-0.89720499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623796943933607 × 6371000     		do = 190.523643210756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38335139--0.38330345) × cos(-0.89723489) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623773574220032 × 6371000     		du = 190.516505498694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89720499)-sin(-0.89723489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623796943933607-0.623773574220032)×R²
    abs(-0.38330345--0.38335139)×2.33697135755273e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33697135755273e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33697135755273e-05×40589641000000     		ar = 36292.7214745992m²