Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57538 / 87306
↖ ↑ ↗
← S 51.196558°
W 21.967163°		 ← 191.36 m → S 51.196558°
W 21.964417°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
S 51.198279°
W 21.967163°		 ← 191.35 m →
36 622 m²		 S 51.198279°
W 21.964417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438983917236328 y=0.666095733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438983917236328 × 217)
    floor (0.438983917236328 × 131072)
    floor (57538.5)     		tx = 57538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666095733642578 × 217)
    floor (0.666095733642578 × 131072)
    floor (87306.5)     		ty = 87306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57538 / 87306 ti = "17/57538/87306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57538/87306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57538 ÷ 217
    57538 ÷ 131072     		x = 0.438980102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87306 ÷ 217
    87306 ÷ 131072     		y = 0.666091918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438980102539062 × 2 - 1) × π
    -0.122039794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38339932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666091918945312 × 2 - 1) × π
    -0.332183837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04358630472862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38339932} λ = -0.38339932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04358630472862))-π/2
    2×atan(0.352189356039855)-π/2
    2×0.338623914910112-π/2
    0.677247829820224-1.57079632675     		φ = -0.89354850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38339932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.967163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89354850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.196558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57538 KachelY 87306 -0.38339932 -0.89354850 -21.967163 -51.196558
    Oben rechts KachelX + 1 57539 KachelY 87306 -0.38335139 -0.89354850 -21.964417 -51.196558
    Unten links KachelX 57538 KachelY + 1 87307 -0.38339932 -0.89357854 -21.967163 -51.198279
    Unten rechts KachelX + 1 57539 KachelY + 1 87307 -0.38335139 -0.89357854 -21.964417 -51.198279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89354850--0.89357854) × R
    3.00400000000645e-05 × 6371000     		dl = 191.384840000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89354850--0.89357854) × R
    3.00400000000645e-05 × 6371000     		dr = 191.384840000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38339932--0.38335139) × cos(-0.89354850) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.626650630537009 × 6371000     		do = 191.355308641456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38339932--0.38335139) × cos(-0.89357854) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.626627220072683 × 6371000     		du = 191.348159974547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89354850)-sin(-0.89357854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626650630537009-0.626627220072683)×R²
    abs(-0.38335139--0.38339932)×2.3410464325635e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3410464325635e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3410464325635e-05×40589641000000     		ar = 36621.8210572044m²