Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57538 / 85710
↖ ↑ ↗
← S 48.367198°
W 21.967163°		 ← 202.87 m → S 48.367198°
W 21.964417°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
S 48.369023°
W 21.967163°		 ← 202.86 m →
41 165 m²		 S 48.369023°
W 21.964417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438983917236328 y=0.653919219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438983917236328 × 217)
    floor (0.438983917236328 × 131072)
    floor (57538.5)     		tx = 57538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653919219970703 × 217)
    floor (0.653919219970703 × 131072)
    floor (85710.5)     		ty = 85710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57538 / 85710 ti = "17/57538/85710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57538/85710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57538 ÷ 217
    57538 ÷ 131072     		x = 0.438980102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85710 ÷ 217
    85710 ÷ 131072     		y = 0.653915405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438980102539062 × 2 - 1) × π
    -0.122039794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38339932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653915405273438 × 2 - 1) × π
    -0.307830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.967079012935013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38339932} λ = -0.38339932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967079012935013))-π/2
    2×atan(0.380191953529609)-π/2
    2×0.363314732153235-π/2
    0.726629464306471-1.57079632675     		φ = -0.84416686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38339932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.967163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84416686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.367198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57538 KachelY 85710 -0.38339932 -0.84416686 -21.967163 -48.367198
    Oben rechts KachelX + 1 57539 KachelY 85710 -0.38335139 -0.84416686 -21.964417 -48.367198
    Unten links KachelX 57538 KachelY + 1 85711 -0.38339932 -0.84419871 -21.967163 -48.369023
    Unten rechts KachelX + 1 57539 KachelY + 1 85711 -0.38335139 -0.84419871 -21.964417 -48.369023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84416686--0.84419871) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84416686--0.84419871) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38339932--0.38335139) × cos(-0.84416686) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664354216711882 × 6371000     		do = 202.868552254089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38339932--0.38335139) × cos(-0.84419871) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664330411115708 × 6371000     		du = 202.861282928916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84416686)-sin(-0.84419871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664354216711882-0.664330411115708)×R²
    abs(-0.38335139--0.38339932)×2.38055961733208e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38055961733208e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38055961733208e-05×40589641000000     		ar = 41164.6086242489m²