Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57536 / 45211
↖ ↑ ↗
← N 48.641984°
W 21.972656°		 ← 201.81 m → N 48.641984°
W 21.969910°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
N 48.640169°
W 21.972656°		 ← 201.82 m →
40 733 m²		 N 48.640169°
W 21.969910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438968658447266 y=0.344936370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438968658447266 × 217)
    floor (0.438968658447266 × 131072)
    floor (57536.5)     		tx = 57536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344936370849609 × 217)
    floor (0.344936370849609 × 131072)
    floor (45211.5)     		ty = 45211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57536 / 45211 ti = "17/57536/45211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57536/45211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57536 ÷ 217
    57536 ÷ 131072     		x = 0.43896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45211 ÷ 217
    45211 ÷ 131072     		y = 0.344932556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38349520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344932556152344 × 2 - 1) × π
    0.310134887695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.974317484777641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38349520} λ = -0.38349520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974317484777641))-π/2
    2×atan(2.64935836635631)-π/2
    2×1.20987954754339-π/2
    2.41975909508678-1.57079632675     		φ = 0.84896277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38349520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84896277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.641984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57536 KachelY 45211 -0.38349520 0.84896277 -21.972656 48.641984
    Oben rechts KachelX + 1 57537 KachelY 45211 -0.38344726 0.84896277 -21.969910 48.641984
    Unten links KachelX 57536 KachelY + 1 45212 -0.38349520 0.84893109 -21.972656 48.640169
    Unten rechts KachelX + 1 57537 KachelY + 1 45212 -0.38344726 0.84893109 -21.969910 48.640169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84896277-0.84893109) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84896277-0.84893109) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38349520--0.38344726) × cos(0.84896277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660762041299774 × 6371000     		do = 201.813735427762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38349520--0.38344726) × cos(0.84893109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660785819831948 × 6371000     		du = 201.820998003547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84896277)-sin(0.84893109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660762041299774-0.660785819831948)×R²
    abs(-0.38344726--0.38349520)×2.37785321732797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37785321732797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37785321732797e-05×40589641000000     		ar = 40733.4610887132m²