Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57535 / 45213
↖ ↑ ↗
← N 48.638354°
W 21.975403°		 ← 201.79 m → N 48.638354°
W 21.972656°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
N 48.636539°
W 21.975403°		 ← 201.79 m →
40 728 m²		 N 48.636539°
W 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438961029052734 y=0.344951629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438961029052734 × 217)
    floor (0.438961029052734 × 131072)
    floor (57535.5)     		tx = 57535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344951629638672 × 217)
    floor (0.344951629638672 × 131072)
    floor (45213.5)     		ty = 45213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57535 / 45213 ti = "17/57535/45213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57535/45213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57535 ÷ 217
    57535 ÷ 131072     		x = 0.438957214355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45213 ÷ 217
    45213 ÷ 131072     		y = 0.344947814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438957214355469 × 2 - 1) × π
    -0.122085571289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38354313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344947814941406 × 2 - 1) × π
    0.310104370117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.974221610978401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38354313} λ = -0.38354313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974221610978401))-π/2
    2×atan(2.64910437447995)-π/2
    2×1.20984787151998-π/2
    2.41969574303995-1.57079632675     		φ = 0.84889942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38354313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.975403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84889942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.638354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57535 KachelY 45213 -0.38354313 0.84889942 -21.975403 48.638354
    Oben rechts KachelX + 1 57536 KachelY 45213 -0.38349520 0.84889942 -21.972656 48.638354
    Unten links KachelX 57535 KachelY + 1 45214 -0.38354313 0.84886774 -21.975403 48.636539
    Unten rechts KachelX + 1 57536 KachelY + 1 45214 -0.38349520 0.84886774 -21.972656 48.636539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84889942-0.84886774) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84889942-0.84886774) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38354313--0.38349520) × cos(0.84889942) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660809590195406 × 6371000     		do = 201.786157905661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38354313--0.38349520) × cos(0.84886774) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660833367401405 × 6371000     		du = 201.793418561553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84889942)-sin(0.84886774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660809590195406-0.660833367401405)×R²
    abs(-0.38349520--0.38354313)×2.37772059998864e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37772059998864e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37772059998864e-05×40589641000000     		ar = 40727.8948331149m²