Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57534 / 87230
↖ ↑ ↗
← S 51.065565°
W 21.978149°		 ← 191.94 m → S 51.065565°
W 21.975403°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
S 51.067291°
W 21.978149°		 ← 191.93 m →
36 831 m²		 S 51.067291°
W 21.975403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438953399658203 y=0.665515899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438953399658203 × 217)
    floor (0.438953399658203 × 131072)
    floor (57534.5)     		tx = 57534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665515899658203 × 217)
    floor (0.665515899658203 × 131072)
    floor (87230.5)     		ty = 87230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57534 / 87230 ti = "17/57534/87230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57534/87230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57534 ÷ 217
    57534 ÷ 131072     		x = 0.438949584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87230 ÷ 217
    87230 ÷ 131072     		y = 0.665512084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438949584960938 × 2 - 1) × π
    -0.122100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38359107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665512084960938 × 2 - 1) × π
    -0.331024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0399431003575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38359107} λ = -0.38359107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0399431003575))-π/2
    2×atan(0.353474793976002)-π/2
    2×0.339767044068726-π/2
    0.679534088137452-1.57079632675     		φ = -0.89126224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38359107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.978149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89126224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.065565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57534 KachelY 87230 -0.38359107 -0.89126224 -21.978149 -51.065565
    Oben rechts KachelX + 1 57535 KachelY 87230 -0.38354313 -0.89126224 -21.975403 -51.065565
    Unten links KachelX 57534 KachelY + 1 87231 -0.38359107 -0.89129236 -21.978149 -51.067291
    Unten rechts KachelX + 1 57535 KachelY + 1 87231 -0.38354313 -0.89129236 -21.975403 -51.067291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89126224--0.89129236) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dl = 191.894520000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89126224--0.89129236) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dr = 191.894520000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38359107--0.38354313) × cos(-0.89126224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628430674386324 × 6371000     		do = 191.938903763016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38359107--0.38354313) × cos(-0.89129236) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628407244789475 × 6371000     		du = 191.931747761061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89126224)-sin(-0.89129236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628430674386324-0.628407244789475)×R²
    abs(-0.38354313--0.38359107)×2.34295968484233e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34295968484233e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34295968484233e-05×40589641000000     		ar = 36831.3372109384m²