Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57534 / 44353
↖ ↑ ↗
← N 50.175139°
W 21.978149°		 ← 195.61 m → N 50.175139°
W 21.975403°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
N 50.173380°
W 21.978149°		 ← 195.61 m →
38 260 m²		 N 50.173380°
W 21.975403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438953399658203 y=0.338390350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438953399658203 × 217)
    floor (0.438953399658203 × 131072)
    floor (57534.5)     		tx = 57534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338390350341797 × 217)
    floor (0.338390350341797 × 131072)
    floor (44353.5)     		ty = 44353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57534 / 44353 ti = "17/57534/44353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57534/44353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57534 ÷ 217
    57534 ÷ 131072     		x = 0.438949584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44353 ÷ 217
    44353 ÷ 131072     		y = 0.338386535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438949584960938 × 2 - 1) × π
    -0.122100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38359107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338386535644531 × 2 - 1) × π
    0.323226928710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.01544734465165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38359107} λ = -0.38359107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01544734465165))-π/2
    2×atan(2.76059805997332)-π/2
    2×1.22325885357814-π/2
    2.44651770715629-1.57079632675     		φ = 0.87572138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38359107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.978149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87572138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.175139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57534 KachelY 44353 -0.38359107 0.87572138 -21.978149 50.175139
    Oben rechts KachelX + 1 57535 KachelY 44353 -0.38354313 0.87572138 -21.975403 50.175139
    Unten links KachelX 57534 KachelY + 1 44354 -0.38359107 0.87569068 -21.978149 50.173380
    Unten rechts KachelX + 1 57535 KachelY + 1 44354 -0.38354313 0.87569068 -21.975403 50.173380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87572138-0.87569068) × R
    3.06999999999391e-05 × 6371000     		dl = 195.589699999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87572138-0.87569068) × R
    3.06999999999391e-05 × 6371000     		dr = 195.589699999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38359107--0.38354313) × cos(0.87572138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640443000895821 × 6371000     		do = 195.607777476299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38359107--0.38354313) × cos(0.87569068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640466578369149 × 6371000     		du = 195.614978643537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87572138)-sin(0.87569068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640443000895821-0.640466578369149)×R²
    abs(-0.38354313--0.38359107)×2.35774733280403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35774733280403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35774733280403e-05×40589641000000     		ar = 38259.5707543716m²