Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57533 / 81077
↖ ↑ ↗
← S 39.208847°
W 21.980896°		 ← 236.66 m → S 39.208847°
W 21.978149°		 →
↑
236.62 m
↓
↑
236.62 m
↓
S 39.210975°
W 21.980896°		 ← 236.65 m →
55 997 m²		 S 39.210975°
W 21.978149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438945770263672 y=0.618572235107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438945770263672 × 217)
    floor (0.438945770263672 × 131072)
    floor (57533.5)     		tx = 57533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618572235107422 × 217)
    floor (0.618572235107422 × 131072)
    floor (81077.5)     		ty = 81077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57533 / 81077 ti = "17/57533/81077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57533/81077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57533 ÷ 217
    57533 ÷ 131072     		x = 0.438941955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81077 ÷ 217
    81077 ÷ 131072     		y = 0.618568420410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438941955566406 × 2 - 1) × π
    -0.122116088867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38363901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618568420410156 × 2 - 1) × π
    -0.237136840820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.744987356995293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38363901} λ = -0.38363901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744987356995293))-π/2
    2×atan(0.474740302045843)-π/2
    2×0.4432364248718-π/2
    0.8864728497436-1.57079632675     		φ = -0.68432348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38363901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.980896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68432348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.208847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57533 KachelY 81077 -0.38363901 -0.68432348 -21.980896 -39.208847
    Oben rechts KachelX + 1 57534 KachelY 81077 -0.38359107 -0.68432348 -21.978149 -39.208847
    Unten links KachelX 57533 KachelY + 1 81078 -0.38363901 -0.68436062 -21.980896 -39.210975
    Unten rechts KachelX + 1 57534 KachelY + 1 81078 -0.38359107 -0.68436062 -21.978149 -39.210975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68432348--0.68436062) × R
    3.71399999999911e-05 × 6371000     		dl = 236.618939999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68432348--0.68436062) × R
    3.71399999999911e-05 × 6371000     		dr = 236.618939999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38363901--0.38359107) × cos(-0.68432348) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.77484688578726 × 6371000     		do = 236.658183478388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38363901--0.38359107) × cos(-0.68436062) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.774823407240606 × 6371000     		du = 236.651012525902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68432348)-sin(-0.68436062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77484688578726-0.774823407240606)×R²
    abs(-0.38359107--0.38363901)×2.34785466541876e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34785466541876e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34785466541876e-05×40589641000000     		ar = 55996.9601318734m²