Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57532 / 85756
↖ ↑ ↗
← S 48.451066°
W 21.983642°		 ← 202.53 m → S 48.451066°
W 21.980896°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.452888°
W 21.983642°		 ← 202.53 m →
41 032 m²		 S 48.452888°
W 21.980896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438938140869141 y=0.654270172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438938140869141 × 217)
    floor (0.438938140869141 × 131072)
    floor (57532.5)     		tx = 57532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654270172119141 × 217)
    floor (0.654270172119141 × 131072)
    floor (85756.5)     		ty = 85756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57532 / 85756 ti = "17/57532/85756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57532/85756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57532 ÷ 217
    57532 ÷ 131072     		x = 0.438934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85756 ÷ 217
    85756 ÷ 131072     		y = 0.654266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438934326171875 × 2 - 1) × π
    -0.12213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38368694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.30853271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969284110317535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38368694} λ = -0.38368694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969284110317535))-π/2
    2×atan(0.379354516902015)-π/2
    2×0.362582852826305-π/2
    0.72516570565261-1.57079632675     		φ = -0.84563062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38368694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.983642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84563062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.451066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57532 KachelY 85756 -0.38368694 -0.84563062 -21.983642 -48.451066
    Oben rechts KachelX + 1 57533 KachelY 85756 -0.38363901 -0.84563062 -21.980896 -48.451066
    Unten links KachelX 57532 KachelY + 1 85757 -0.38368694 -0.84566242 -21.983642 -48.452888
    Unten rechts KachelX + 1 57533 KachelY + 1 85757 -0.38363901 -0.84566242 -21.980896 -48.452888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84563062--0.84566242) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84563062--0.84566242) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38368694--0.38363901) × cos(-0.84563062) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663259464998546 × 6371000     		do = 202.534256648559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38368694--0.38363901) × cos(-0.84566242) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663235665876277 × 6371000     		du = 202.526989300271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84563062)-sin(-0.84566242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663259464998546-0.663235665876277)×R²
    abs(-0.38363901--0.38368694)×2.37991222686862e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37991222686862e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37991222686862e-05×40589641000000     		ar = 41032.2586508511m²