Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57531 / 87261
↖ ↑ ↗
← S 51.119041°
W 21.986389°		 ← 191.72 m → S 51.119041°
W 21.983642°		 →
↑
191.70 m
↓
↑
191.70 m
↓
S 51.120765°
W 21.986389°		 ← 191.71 m →
36 752 m²		 S 51.120765°
W 21.983642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438930511474609 y=0.665752410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438930511474609 × 217)
    floor (0.438930511474609 × 131072)
    floor (57531.5)     		tx = 57531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665752410888672 × 217)
    floor (0.665752410888672 × 131072)
    floor (87261.5)     		ty = 87261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57531 / 87261 ti = "17/57531/87261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57531/87261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57531 ÷ 217
    57531 ÷ 131072     		x = 0.438926696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87261 ÷ 217
    87261 ÷ 131072     		y = 0.665748596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438926696777344 × 2 - 1) × π
    -0.122146606445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38373488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665748596191406 × 2 - 1) × π
    -0.331497192382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.04142914424572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38373488} λ = -0.38373488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04142914424572))-π/2
    2×atan(0.35294990501938)-π/2
    2×0.339300376126939-π/2
    0.678600752253878-1.57079632675     		φ = -0.89219557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38373488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.986389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89219557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.119041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57531 KachelY 87261 -0.38373488 -0.89219557 -21.986389 -51.119041
    Oben rechts KachelX + 1 57532 KachelY 87261 -0.38368694 -0.89219557 -21.983642 -51.119041
    Unten links KachelX 57531 KachelY + 1 87262 -0.38373488 -0.89222566 -21.986389 -51.120765
    Unten rechts KachelX + 1 57532 KachelY + 1 87262 -0.38368694 -0.89222566 -21.983642 -51.120765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89219557--0.89222566) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dl = 191.703389999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89219557--0.89222566) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dr = 191.703389999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38373488--0.38368694) × cos(-0.89219557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627704395479287 × 6371000     		do = 191.71707949061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38373488--0.38368694) × cos(-0.89222566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627680971580716 × 6371000     		du = 191.709925229055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89219557)-sin(-0.89222566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627704395479287-0.627680971580716)×R²
    abs(-0.38368694--0.38373488)×2.34238985710178e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34238985710178e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34238985710178e-05×40589641000000     		ar = 36752.1283138856m²