Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57531 / 44258
↖ ↑ ↗
← N 50.341955°
W 21.986389°		 ← 194.92 m → N 50.341955°
W 21.983642°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
N 50.340202°
W 21.986389°		 ← 194.93 m →
37 989 m²		 N 50.340202°
W 21.983642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438930511474609 y=0.337665557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438930511474609 × 217)
    floor (0.438930511474609 × 131072)
    floor (57531.5)     		tx = 57531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337665557861328 × 217)
    floor (0.337665557861328 × 131072)
    floor (44258.5)     		ty = 44258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57531 / 44258 ti = "17/57531/44258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57531/44258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57531 ÷ 217
    57531 ÷ 131072     		x = 0.438926696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44258 ÷ 217
    44258 ÷ 131072     		y = 0.337661743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438926696777344 × 2 - 1) × π
    -0.122146606445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38373488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337661743164062 × 2 - 1) × π
    0.324676513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02000135011555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38373488} λ = -0.38373488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02000135011555))-π/2
    2×atan(2.77319850810021)-π/2
    2×1.22471459476522-π/2
    2.44942918953044-1.57079632675     		φ = 0.87863286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38373488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.986389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87863286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.341955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57531 KachelY 44258 -0.38373488 0.87863286 -21.986389 50.341955
    Oben rechts KachelX + 1 57532 KachelY 44258 -0.38368694 0.87863286 -21.983642 50.341955
    Unten links KachelX 57531 KachelY + 1 44259 -0.38373488 0.87860227 -21.986389 50.340202
    Unten rechts KachelX + 1 57532 KachelY + 1 44259 -0.38368694 0.87860227 -21.983642 50.340202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87863286-0.87860227) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dl = 194.888889999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87863286-0.87860227) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dr = 194.888889999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38373488--0.38368694) × cos(0.87863286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638204256380717 × 6371000     		do = 194.924007276328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38373488--0.38368694) × cos(0.87860227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638227806316216 × 6371000     		du = 194.931200032805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87863286)-sin(0.87860227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638204256380717-0.638227806316216)×R²
    abs(-0.38368694--0.38373488)×2.35499354988011e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35499354988011e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35499354988011e-05×40589641000000     		ar = 37989.2243093408m²