Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57531 / 29663
↖ ↑ ↗
← N 69.688572°
W 21.986389°		 ← 106.02 m → N 69.688572°
W 21.983642°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
N 69.687618°
W 21.986389°		 ← 106.02 m →
11 240 m²		 N 69.687618°
W 21.983642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438930511474609 y=0.226314544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438930511474609 × 217)
    floor (0.438930511474609 × 131072)
    floor (57531.5)     		tx = 57531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226314544677734 × 217)
    floor (0.226314544677734 × 131072)
    floor (29663.5)     		ty = 29663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57531 / 29663 ti = "17/57531/29663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57531/29663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57531 ÷ 217
    57531 ÷ 131072     		x = 0.438926696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29663 ÷ 217
    29663 ÷ 131072     		y = 0.226310729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438926696777344 × 2 - 1) × π
    -0.122146606445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38373488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226310729980469 × 2 - 1) × π
    0.547378540039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.71964040007027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38373488} λ = -0.38373488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71964040007027))-π/2
    2×atan(5.58252062926305)-π/2
    2×1.393545678324-π/2
    2.78709135664799-1.57079632675     		φ = 1.21629503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38373488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.986389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21629503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.688572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57531 KachelY 29663 -0.38373488 1.21629503 -21.986389 69.688572
    Oben rechts KachelX + 1 57532 KachelY 29663 -0.38368694 1.21629503 -21.983642 69.688572
    Unten links KachelX 57531 KachelY + 1 29664 -0.38373488 1.21627839 -21.986389 69.687618
    Unten rechts KachelX + 1 57532 KachelY + 1 29664 -0.38368694 1.21627839 -21.983642 69.687618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21629503-1.21627839) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dl = 106.01343999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21629503-1.21627839) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dr = 106.01343999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38373488--0.38368694) × cos(1.21629503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347122714722229 × 6371000     		do = 106.020212014899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38373488--0.38368694) × cos(1.21627839) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347138319994255 × 6371000     		du = 106.024978266655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21629503)-sin(1.21627839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347122714722229-0.347138319994255)×R²
    abs(-0.38368694--0.38373488)×1.56052720268196e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56052720268196e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56052720268196e-05×40589641000000     		ar = 11239.8200288624m²