Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57529 / 85042
↖ ↑ ↗
← S 47.133688°
W 21.991883°		 ← 207.78 m → S 47.133688°
W 21.989136°		 →
↑
207.76 m
↓
↑
207.76 m
↓
S 47.135556°
W 21.991883°		 ← 207.77 m →
43 167 m²		 S 47.135556°
W 21.989136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438915252685547 y=0.648822784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438915252685547 × 217)
    floor (0.438915252685547 × 131072)
    floor (57529.5)     		tx = 57529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648822784423828 × 217)
    floor (0.648822784423828 × 131072)
    floor (85042.5)     		ty = 85042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57529 / 85042 ti = "17/57529/85042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57529/85042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57529 ÷ 217
    57529 ÷ 131072     		x = 0.438911437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85042 ÷ 217
    85042 ÷ 131072     		y = 0.648818969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438911437988281 × 2 - 1) × π
    -0.122177124023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38383076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648818969726562 × 2 - 1) × π
    -0.297637939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.935057163988815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38383076} λ = -0.38383076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935057163988815))-π/2
    2×atan(0.392563424398911)-π/2
    2×0.374079142761973-π/2
    0.748158285523945-1.57079632675     		φ = -0.82263804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38383076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.991883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82263804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.133688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57529 KachelY 85042 -0.38383076 -0.82263804 -21.991883 -47.133688
    Oben rechts KachelX + 1 57530 KachelY 85042 -0.38378282 -0.82263804 -21.989136 -47.133688
    Unten links KachelX 57529 KachelY + 1 85043 -0.38383076 -0.82267065 -21.991883 -47.135556
    Unten rechts KachelX + 1 57530 KachelY + 1 85043 -0.38378282 -0.82267065 -21.989136 -47.135556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82263804--0.82267065) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dl = 207.758309999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82263804--0.82267065) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dr = 207.758309999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38383076--0.38378282) × cos(-0.82263804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680290043705808 × 6371000     		do = 207.778090013342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38383076--0.38378282) × cos(-0.82267065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68026614207253 × 6371000     		du = 207.770789839311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82263804)-sin(-0.82267065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680290043705808-0.68026614207253)×R²
    abs(-0.38378282--0.38383076)×2.39016332779229e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39016332779229e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39016332779229e-05×40589641000000     		ar = 43166.866504114m²