Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57529 / 84151
↖ ↑ ↗
← S 45.442790°
W 21.991883°		 ← 214.29 m → S 45.442790°
W 21.989136°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
S 45.444717°
W 21.991883°		 ← 214.29 m →
45 927 m²		 S 45.444717°
W 21.989136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438915252685547 y=0.642024993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438915252685547 × 217)
    floor (0.438915252685547 × 131072)
    floor (57529.5)     		tx = 57529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642024993896484 × 217)
    floor (0.642024993896484 × 131072)
    floor (84151.5)     		ty = 84151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57529 / 84151 ti = "17/57529/84151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57529/84151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57529 ÷ 217
    57529 ÷ 131072     		x = 0.438911437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84151 ÷ 217
    84151 ÷ 131072     		y = 0.642021179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438911437988281 × 2 - 1) × π
    -0.122177124023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38383076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642021179199219 × 2 - 1) × π
    -0.284042358398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.892345386427345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38383076} λ = -0.38383076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892345386427345))-π/2
    2×atan(0.409693734916309)-π/2
    2×0.388835012064468-π/2
    0.777670024128936-1.57079632675     		φ = -0.79312630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38383076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.991883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79312630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.442790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57529 KachelY 84151 -0.38383076 -0.79312630 -21.991883 -45.442790
    Oben rechts KachelX + 1 57530 KachelY 84151 -0.38378282 -0.79312630 -21.989136 -45.442790
    Unten links KachelX 57529 KachelY + 1 84152 -0.38383076 -0.79315994 -21.991883 -45.444717
    Unten rechts KachelX + 1 57530 KachelY + 1 84152 -0.38378282 -0.79315994 -21.989136 -45.444717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79312630--0.79315994) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dl = 214.320440000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79312630--0.79315994) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dr = 214.320440000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38383076--0.38378282) × cos(-0.79312630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70162110223236 × 6371000     		do = 214.293144348794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38383076--0.38378282) × cos(-0.79315994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.701597131645665 × 6371000     		du = 214.285823114614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79312630)-sin(-0.79315994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70162110223236-0.701597131645665)×R²
    abs(-0.38378282--0.38383076)×2.39705866950102e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39705866950102e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39705866950102e-05×40589641000000     		ar = 45926.6164451262m²