Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57529 / 45221
↖ ↑ ↗
← N 48.623832°
W 21.991883°		 ← 201.89 m → N 48.623832°
W 21.989136°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
N 48.622017°
W 21.991883°		 ← 201.89 m →
40 748 m²		 N 48.622017°
W 21.989136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438915252685547 y=0.345012664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438915252685547 × 217)
    floor (0.438915252685547 × 131072)
    floor (57529.5)     		tx = 57529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345012664794922 × 217)
    floor (0.345012664794922 × 131072)
    floor (45221.5)     		ty = 45221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57529 / 45221 ti = "17/57529/45221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57529/45221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57529 ÷ 217
    57529 ÷ 131072     		x = 0.438911437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45221 ÷ 217
    45221 ÷ 131072     		y = 0.345008850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438911437988281 × 2 - 1) × π
    -0.122177124023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38383076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345008850097656 × 2 - 1) × π
    0.309982299804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.973838115781441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38383076} λ = -0.38383076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.973838115781441))-π/2
    2×atan(2.64808865045118)-π/2
    2×1.20972114463156-π/2
    2.41944228926312-1.57079632675     		φ = 0.84864596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38383076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.991883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84864596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.623832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57529 KachelY 45221 -0.38383076 0.84864596 -21.991883 48.623832
    Oben rechts KachelX + 1 57530 KachelY 45221 -0.38378282 0.84864596 -21.989136 48.623832
    Unten links KachelX 57529 KachelY + 1 45222 -0.38383076 0.84861428 -21.991883 48.622017
    Unten rechts KachelX + 1 57530 KachelY + 1 45222 -0.38378282 0.84861428 -21.989136 48.622017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84864596-0.84861428) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84864596-0.84861428) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38383076--0.38378282) × cos(0.84864596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660999804279429 × 6371000     		do = 201.886354361767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38383076--0.38378282) × cos(0.84861428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661023576178525 × 6371000     		du = 201.89361491164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84864596)-sin(0.84861428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660999804279429-0.661023576178525)×R²
    abs(-0.38378282--0.38383076)×2.3771899095526e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3771899095526e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3771899095526e-05×40589641000000     		ar = 40748.1178017839m²