Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57528 / 87252
↖ ↑ ↗
← S 51.103522°
W 21.994629°		 ← 191.74 m → S 51.103522°
W 21.991883°		 →
↑
191.77 m
↓
↑
191.77 m
↓
S 51.105247°
W 21.994629°		 ← 191.73 m →
36 769 m²		 S 51.105247°
W 21.991883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438907623291016 y=0.665683746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438907623291016 × 217)
    floor (0.438907623291016 × 131072)
    floor (57528.5)     		tx = 57528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665683746337891 × 217)
    floor (0.665683746337891 × 131072)
    floor (87252.5)     		ty = 87252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57528 / 87252 ti = "17/57528/87252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57528/87252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57528 ÷ 217
    57528 ÷ 131072     		x = 0.43890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87252 ÷ 217
    87252 ÷ 131072     		y = 0.665679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38387869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.33135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04099771214914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38387869} λ = -0.38387869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04099771214914))-π/2
    2×atan(0.353102211789543)-π/2
    2×0.339435804776729-π/2
    0.678871609553459-1.57079632675     		φ = -0.89192472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38387869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.994629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89192472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.103522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57528 KachelY 87252 -0.38387869 -0.89192472 -21.994629 -51.103522
    Oben rechts KachelX + 1 57529 KachelY 87252 -0.38383076 -0.89192472 -21.991883 -51.103522
    Unten links KachelX 57528 KachelY + 1 87253 -0.38387869 -0.89195482 -21.994629 -51.105247
    Unten rechts KachelX + 1 57529 KachelY + 1 87253 -0.38383076 -0.89195482 -21.991883 -51.105247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89192472--0.89195482) × R
    3.01000000000329e-05 × 6371000     		dl = 191.767100000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89192472--0.89195482) × R
    3.01000000000329e-05 × 6371000     		dr = 191.767100000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38387869--0.38383076) × cos(-0.89192472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.627915216120363 × 6371000     		do = 191.74146506252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38387869--0.38383076) × cos(-0.89195482) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.627891789555262 × 6371000     		du = 191.734311479045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89192472)-sin(-0.89195482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627915216120363-0.627891789555262)×R²
    abs(-0.38383076--0.38387869)×2.34265651005705e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34265651005705e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34265651005705e-05×40589641000000     		ar = 36769.0187967103m²