Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57528 / 44216
↖ ↑ ↗
← N 50.415519°
W 21.994629°		 ← 194.58 m → N 50.415519°
W 21.991883°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 50.413769°
W 21.994629°		 ← 194.59 m →
37 873 m²		 N 50.413769°
W 21.991883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438907623291016 y=0.337345123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438907623291016 × 217)
    floor (0.438907623291016 × 131072)
    floor (57528.5)     		tx = 57528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337345123291016 × 217)
    floor (0.337345123291016 × 131072)
    floor (44216.5)     		ty = 44216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57528 / 44216 ti = "17/57528/44216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57528/44216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57528 ÷ 217
    57528 ÷ 131072     		x = 0.43890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44216 ÷ 217
    44216 ÷ 131072     		y = 0.33734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38387869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33734130859375 × 2 - 1) × π
    0.3253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0220146998996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38387869} λ = -0.38387869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0220146998996))-π/2
    2×atan(2.77878755117897)-π/2
    2×1.22535656113117-π/2
    2.45071312226233-1.57079632675     		φ = 0.87991680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38387869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.994629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87991680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.415519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57528 KachelY 44216 -0.38387869 0.87991680 -21.994629 50.415519
    Oben rechts KachelX + 1 57529 KachelY 44216 -0.38383076 0.87991680 -21.991883 50.415519
    Unten links KachelX 57528 KachelY + 1 44217 -0.38387869 0.87988625 -21.994629 50.413769
    Unten rechts KachelX + 1 57529 KachelY + 1 44217 -0.38383076 0.87988625 -21.991883 50.413769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87991680-0.87988625) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dl = 194.634050000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87991680-0.87988625) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dr = 194.634050000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38387869--0.38383076) × cos(0.87991680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637215267467974 × 6371000     		do = 194.581347621133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38387869--0.38383076) × cos(0.87988625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637238811623797 × 6371000     		du = 194.588537112349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87991680)-sin(0.87988625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637215267467974-0.637238811623797)×R²
    abs(-0.38383076--0.38387869)×2.35441558227301e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35441558227301e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35441558227301e-05×40589641000000     		ar = 37872.8554049679m²