Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57527 / 87510
↖ ↑ ↗
← S 51.546335°
W 21.997376°		 ← 189.94 m → S 51.546335°
W 21.994629°		 →
↑
189.92 m
↓
↑
189.92 m
↓
S 51.548043°
W 21.997376°		 ← 189.93 m →
36 072 m²		 S 51.548043°
W 21.994629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438899993896484 y=0.667652130126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438899993896484 × 217)
    floor (0.438899993896484 × 131072)
    floor (57527.5)     		tx = 57527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667652130126953 × 217)
    floor (0.667652130126953 × 131072)
    floor (87510.5)     		ty = 87510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57527 / 87510 ti = "17/57527/87510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57527/87510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57527 ÷ 217
    57527 ÷ 131072     		x = 0.438896179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87510 ÷ 217
    87510 ÷ 131072     		y = 0.667648315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438896179199219 × 2 - 1) × π
    -0.122207641601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38392663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667648315429688 × 2 - 1) × π
    -0.335296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05336543225111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38392663} λ = -0.38392663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05336543225111))-π/2
    2×atan(0.348762036824128)-π/2
    2×0.33557153144551-π/2
    0.671143062891021-1.57079632675     		φ = -0.89965326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38392663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.997376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89965326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.546335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57527 KachelY 87510 -0.38392663 -0.89965326 -21.997376 -51.546335
    Oben rechts KachelX + 1 57528 KachelY 87510 -0.38387869 -0.89965326 -21.994629 -51.546335
    Unten links KachelX 57527 KachelY + 1 87511 -0.38392663 -0.89968307 -21.997376 -51.548043
    Unten rechts KachelX + 1 57528 KachelY + 1 87511 -0.38387869 -0.89968307 -21.994629 -51.548043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89965326--0.89968307) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dl = 189.919510000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89965326--0.89968307) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dr = 189.919510000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38392663--0.38387869) × cos(-0.89965326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62188154167021 × 6371000     		do = 189.93863005684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38392663--0.38387869) × cos(-0.89968307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621858196845287 × 6371000     		du = 189.931499946413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89965326)-sin(-0.89968307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62188154167021-0.621858196845287)×R²
    abs(-0.38387869--0.38392663)×2.3344824922944e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3344824922944e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3344824922944e-05×40589641000000     		ar = 36072.374479439m²