Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57524 / 8980
↖ ↑ ↗
← N 78.327204°
E135.988769°		 ← 123.59 m → N 78.327204°
E135.994263°		 →
↑
123.60 m
↓
↑
123.60 m
↓
N 78.326092°
E135.988769°		 ← 123.60 m →
15 276 m²		 N 78.326092°
E135.994263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877754211425781 y=0.137031555175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877754211425781 × 216)
    floor (0.877754211425781 × 65536)
    floor (57524.5)     		tx = 57524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137031555175781 × 216)
    floor (0.137031555175781 × 65536)
    floor (8980.5)     		ty = 8980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57524 / 8980 ti = "16/57524/8980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57524/8980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57524 ÷ 216
    57524 ÷ 65536     		x = 0.87774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8980 ÷ 216
    8980 ÷ 65536     		y = 0.13702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87774658203125 × 2 - 1) × π
    0.7554931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.37345177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13702392578125 × 2 - 1) × π
    0.7259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28064593632379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37345177} λ = 2.37345177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28064593632379))-π/2
    2×atan(9.78299756255118)-π/2
    2×1.46893196305984-π/2
    2.93786392611967-1.57079632675     		φ = 1.36706760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37345177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.988769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36706760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.327204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57524 KachelY 8980 2.37345177 1.36706760 135.988769 78.327204
    Oben rechts KachelX + 1 57525 KachelY 8980 2.37354765 1.36706760 135.994263 78.327204
    Unten links KachelX 57524 KachelY + 1 8981 2.37345177 1.36704820 135.988769 78.326092
    Unten rechts KachelX + 1 57525 KachelY + 1 8981 2.37354765 1.36704820 135.994263 78.326092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36706760-1.36704820) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dl = 123.597400000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36706760-1.36704820) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dr = 123.597400000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37345177-2.37354765) × cos(1.36706760) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20232234174821 × 6371000     		do = 123.588901893879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37345177-2.37354765) × cos(1.36704820) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202341340498402 × 6371000     		du = 123.600507308552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36706760)-sin(1.36704820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20232234174821-0.202341340498402)×R²
    abs(2.37354765-2.37345177)×1.89987501916788e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.89987501916788e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.89987501916788e-05×40589641000000     		ar = 15275.9841427467m²