Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57523 / 85754
↖ ↑ ↗
← S 48.447422°
W 22.008362°		 ← 202.59 m → S 48.447422°
W 22.005615°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.449244°
W 22.008362°		 ← 202.58 m →
41 044 m²		 S 48.449244°
W 22.005615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438869476318359 y=0.654254913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438869476318359 × 217)
    floor (0.438869476318359 × 131072)
    floor (57523.5)     		tx = 57523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654254913330078 × 217)
    floor (0.654254913330078 × 131072)
    floor (85754.5)     		ty = 85754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57523 / 85754 ti = "17/57523/85754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57523/85754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57523 ÷ 217
    57523 ÷ 131072     		x = 0.438865661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85754 ÷ 217
    85754 ÷ 131072     		y = 0.654251098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438865661621094 × 2 - 1) × π
    -0.122268676757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38411838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654251098632812 × 2 - 1) × π
    -0.308502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.969188236518295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38411838} λ = -0.38411838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969188236518295))-π/2
    2×atan(0.379390888804338)-π/2
    2×0.362614648569312-π/2
    0.725229297138623-1.57079632675     		φ = -0.84556703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38411838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.008362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84556703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.447422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57523 KachelY 85754 -0.38411838 -0.84556703 -22.008362 -48.447422
    Oben rechts KachelX + 1 57524 KachelY 85754 -0.38407044 -0.84556703 -22.005615 -48.447422
    Unten links KachelX 57523 KachelY + 1 85755 -0.38411838 -0.84559883 -22.008362 -48.449244
    Unten rechts KachelX + 1 57524 KachelY + 1 85755 -0.38407044 -0.84559883 -22.005615 -48.449244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84556703--0.84559883) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84556703--0.84559883) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38411838--0.38407044) × cos(-0.84556703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663307053747442 × 6371000     		do = 202.591047737899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38411838--0.38407044) × cos(-0.84559883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663283255966415 × 6371000     		du = 202.583779283019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84556703)-sin(-0.84559883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663307053747442-0.663283255966415)×R²
    abs(-0.38407044--0.38411838)×2.37977810264578e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37977810264578e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37977810264578e-05×40589641000000     		ar = 41043.7642883399m²