Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57522 / 45234
↖ ↑ ↗
← N 48.600225°
W 22.011108°		 ← 201.94 m → N 48.600225°
W 22.008362°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
N 48.598409°
W 22.011108°		 ← 201.95 m →
40 784 m²		 N 48.598409°
W 22.008362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438861846923828 y=0.345111846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438861846923828 × 217)
    floor (0.438861846923828 × 131072)
    floor (57522.5)     		tx = 57522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345111846923828 × 217)
    floor (0.345111846923828 × 131072)
    floor (45234.5)     		ty = 45234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57522 / 45234 ti = "17/57522/45234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57522/45234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57522 ÷ 217
    57522 ÷ 131072     		x = 0.438858032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45234 ÷ 217
    45234 ÷ 131072     		y = 0.345108032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438858032226562 × 2 - 1) × π
    -0.122283935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38416631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345108032226562 × 2 - 1) × π
    0.309783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.97321493608638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38416631} λ = -0.38416631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97321493608638))-π/2
    2×atan(2.6464389294632)-π/2
    2×1.20951513564597-π/2
    2.41903027129194-1.57079632675     		φ = 0.84823394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38416631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.011108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84823394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.600225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57522 KachelY 45234 -0.38416631 0.84823394 -22.011108 48.600225
    Oben rechts KachelX + 1 57523 KachelY 45234 -0.38411838 0.84823394 -22.008362 48.600225
    Unten links KachelX 57522 KachelY + 1 45235 -0.38416631 0.84820224 -22.011108 48.598409
    Unten rechts KachelX + 1 57523 KachelY + 1 45235 -0.38411838 0.84820224 -22.008362 48.598409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84823394-0.84820224) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dl = 201.960699999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84823394-0.84820224) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dr = 201.960699999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38416631--0.38411838) × cos(0.84823394) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66130892223471 × 6371000     		do = 201.938634950827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38416631--0.38411838) × cos(0.84820224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661332700505593 × 6371000     		du = 201.945895931893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84823394)-sin(0.84820224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66130892223471-0.661332700505593)×R²
    abs(-0.38411838--0.38416631)×2.3778270882957e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3778270882957e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3778270882957e-05×40589641000000     		ar = 40784.401291497m²