Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57521 / 87142
↖ ↑ ↗
← S 50.913424°
W 22.013855°		 ← 192.57 m → S 50.913424°
W 22.011108°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
S 50.915156°
W 22.013855°		 ← 192.56 m →
37 075 m²		 S 50.915156°
W 22.011108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438854217529297 y=0.664844512939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438854217529297 × 217)
    floor (0.438854217529297 × 131072)
    floor (57521.5)     		tx = 57521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664844512939453 × 217)
    floor (0.664844512939453 × 131072)
    floor (87142.5)     		ty = 87142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57521 / 87142 ti = "17/57521/87142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57521/87142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57521 ÷ 217
    57521 ÷ 131072     		x = 0.438850402832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87142 ÷ 217
    87142 ÷ 131072     		y = 0.664840698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438850402832031 × 2 - 1) × π
    -0.122299194335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38421425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664840698242188 × 2 - 1) × π
    -0.329681396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03572465319093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38421425} λ = -0.38421425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03572465319093))-π/2
    2×atan(0.354969058240623)-π/2
    2×0.341094720430703-π/2
    0.682189440861407-1.57079632675     		φ = -0.88860689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38421425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.013855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88860689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.913424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57521 KachelY 87142 -0.38421425 -0.88860689 -22.013855 -50.913424
    Oben rechts KachelX + 1 57522 KachelY 87142 -0.38416631 -0.88860689 -22.011108 -50.913424
    Unten links KachelX 57521 KachelY + 1 87143 -0.38421425 -0.88863711 -22.013855 -50.915156
    Unten rechts KachelX + 1 57522 KachelY + 1 87143 -0.38416631 -0.88863711 -22.011108 -50.915156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88860689--0.88863711) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dl = 192.531619999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88860689--0.88863711) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dr = 192.531619999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38421425--0.38416631) × cos(-0.88860689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630493961878416 × 6371000     		do = 192.569084872121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38421425--0.38416631) × cos(-0.88863711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6304705050032 × 6371000     		du = 192.56192053865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88860689)-sin(-0.88863711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630493961878416-0.6304705050032)×R²
    abs(-0.38416631--0.38421425)×2.3456875215988e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3456875215988e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3456875215988e-05×40589641000000     		ar = 37074.9481947986m²