Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57520 / 9099
↖ ↑ ↗
← N 78.194207°
E135.966797°		 ← 124.96 m → N 78.194207°
E135.972290°		 →
↑
125 m
↓
↑
125 m
↓
N 78.193083°
E135.966797°		 ← 124.98 m →
15 621 m²		 N 78.193083°
E135.972290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877693176269531 y=0.138847351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877693176269531 × 216)
    floor (0.877693176269531 × 65536)
    floor (57520.5)     		tx = 57520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138847351074219 × 216)
    floor (0.138847351074219 × 65536)
    floor (9099.5)     		ty = 9099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57520 / 9099 ti = "16/57520/9099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57520/9099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57520 ÷ 216
    57520 ÷ 65536     		x = 0.877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9099 ÷ 216
    9099 ÷ 65536     		y = 0.138839721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877685546875 × 2 - 1) × π
    0.75537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.37306828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138839721679688 × 2 - 1) × π
    0.722320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26923695421422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37306828} λ = 2.37306828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26923695421422))-π/2
    2×atan(9.67201780521789)-π/2
    2×1.46777134637073-π/2
    2.93554269274146-1.57079632675     		φ = 1.36474637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37306828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36474637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.194207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57520 KachelY 9099 2.37306828 1.36474637 135.966797 78.194207
    Oben rechts KachelX + 1 57521 KachelY 9099 2.37316415 1.36474637 135.972290 78.194207
    Unten links KachelX 57520 KachelY + 1 9100 2.37306828 1.36472675 135.966797 78.193083
    Unten rechts KachelX + 1 57521 KachelY + 1 9100 2.37316415 1.36472675 135.972290 78.193083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36474637-1.36472675) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dl = 124.999019999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36474637-1.36472675) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dr = 124.999019999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37306828-2.37316415) × cos(1.36474637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204595019242066 × 6371000     		do = 124.964135555966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37306828-2.37316415) × cos(1.36472675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204614224175101 × 6371000     		du = 124.975865694187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36474637)-sin(1.36472675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204595019242066-0.204614224175101)×R²
    abs(2.37316415-2.37306828)×1.92049330342559e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92049330342559e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92049330342559e-05×40589641000000     		ar = 15621.1276080275m²