Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57520 / 87317
↖ ↑ ↗
← S 51.215487°
W 22.016602°		 ← 191.32 m → S 51.215487°
W 22.013855°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
S 51.217207°
W 22.016602°		 ← 191.31 m →
36 590 m²		 S 51.217207°
W 22.013855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438846588134766 y=0.666179656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438846588134766 × 217)
    floor (0.438846588134766 × 131072)
    floor (57520.5)     		tx = 57520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666179656982422 × 217)
    floor (0.666179656982422 × 131072)
    floor (87317.5)     		ty = 87317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57520 / 87317 ti = "17/57520/87317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57520/87317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57520 ÷ 217
    57520 ÷ 131072     		x = 0.4388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87317 ÷ 217
    87317 ÷ 131072     		y = 0.666175842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38426219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666175842285156 × 2 - 1) × π
    -0.332351684570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.04411361062444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38426219} λ = -0.38426219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04411361062444))-π/2
    2×atan(0.352003693470755)-π/2
    2×0.338458730568342-π/2
    0.676917461136683-1.57079632675     		φ = -0.89387887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38426219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89387887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.215487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57520 KachelY 87317 -0.38426219 -0.89387887 -22.016602 -51.215487
    Oben rechts KachelX + 1 57521 KachelY 87317 -0.38421425 -0.89387887 -22.013855 -51.215487
    Unten links KachelX 57520 KachelY + 1 87318 -0.38426219 -0.89390889 -22.016602 -51.217207
    Unten rechts KachelX + 1 57521 KachelY + 1 87318 -0.38421425 -0.89390889 -22.013855 -51.217207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89387887--0.89390889) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dl = 191.25741999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89387887--0.89390889) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dr = 191.25741999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38426219--0.38421425) × cos(-0.89387887) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626393138897609 × 6371000     		do = 191.316587978821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38426219--0.38421425) × cos(-0.89390889) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626369737806121 × 6371000     		du = 191.309440683137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89387887)-sin(-0.89390889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626393138897609-0.626369737806121)×R²
    abs(-0.38421425--0.38426219)×2.34010914874627e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34010914874627e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34010914874627e-05×40589641000000     		ar = 36590.0335360256m²