Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57520 / 85752
↖ ↑ ↗
← S 48.443778°
W 22.016602°		 ← 202.61 m → S 48.443778°
W 22.013855°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.445600°
W 22.016602°		 ← 202.60 m →
41 047 m²		 S 48.445600°
W 22.013855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438846588134766 y=0.654239654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438846588134766 × 217)
    floor (0.438846588134766 × 131072)
    floor (57520.5)     		tx = 57520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654239654541016 × 217)
    floor (0.654239654541016 × 131072)
    floor (85752.5)     		ty = 85752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57520 / 85752 ti = "17/57520/85752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57520/85752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57520 ÷ 217
    57520 ÷ 131072     		x = 0.4388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85752 ÷ 217
    85752 ÷ 131072     		y = 0.65423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38426219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.3084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.969092362719055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38426219} λ = -0.38426219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969092362719055))-π/2
    2×atan(0.37942726419394)-π/2
    2×0.362646446593647-π/2
    0.725292893187293-1.57079632675     		φ = -0.84550343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38426219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84550343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.443778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57520 KachelY 85752 -0.38426219 -0.84550343 -22.016602 -48.443778
    Oben rechts KachelX + 1 57521 KachelY 85752 -0.38421425 -0.84550343 -22.013855 -48.443778
    Unten links KachelX 57520 KachelY + 1 85753 -0.38426219 -0.84553523 -22.016602 -48.445600
    Unten rechts KachelX + 1 57521 KachelY + 1 85753 -0.38421425 -0.84553523 -22.013855 -48.445600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84550343--0.84553523) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84550343--0.84553523) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38426219--0.38421425) × cos(-0.84550343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663354647297183 × 6371000     		do = 202.605584033283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38426219--0.38421425) × cos(-0.84553523) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663330850857706 × 6371000     		du = 202.598315988146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84550343)-sin(-0.84553523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663354647297183-0.663330850857706)×R²
    abs(-0.38421425--0.38426219)×2.37964394772527e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37964394772527e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37964394772527e-05×40589641000000     		ar = 41046.7093513207m²