Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57519 / 87343
↖ ↑ ↗
← S 51.260196°
W 22.019348°		 ← 191.09 m → S 51.260196°
W 22.016602°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
S 51.261915°
W 22.019348°		 ← 191.08 m →
36 510 m²		 S 51.261915°
W 22.016602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438838958740234 y=0.666378021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438838958740234 × 217)
    floor (0.438838958740234 × 131072)
    floor (57519.5)     		tx = 57519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666378021240234 × 217)
    floor (0.666378021240234 × 131072)
    floor (87343.5)     		ty = 87343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57519 / 87343 ti = "17/57519/87343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57519/87343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57519 ÷ 217
    57519 ÷ 131072     		x = 0.438835144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87343 ÷ 217
    87343 ÷ 131072     		y = 0.666374206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438835144042969 × 2 - 1) × π
    -0.122329711914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38431012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666374206542969 × 2 - 1) × π
    -0.332748413085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.04535997001456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38431012} λ = -0.38431012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04535997001456))-π/2
    2×atan(0.351565243651823)-π/2
    2×0.338068564683361-π/2
    0.676137129366722-1.57079632675     		φ = -0.89465920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38431012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.019348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89465920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.260196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57519 KachelY 87343 -0.38431012 -0.89465920 -22.019348 -51.260196
    Oben rechts KachelX + 1 57520 KachelY 87343 -0.38426219 -0.89465920 -22.016602 -51.260196
    Unten links KachelX 57519 KachelY + 1 87344 -0.38431012 -0.89468919 -22.019348 -51.261915
    Unten rechts KachelX + 1 57520 KachelY + 1 87344 -0.38426219 -0.89468919 -22.016602 -51.261915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89465920--0.89468919) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89465920--0.89468919) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38431012--0.38426219) × cos(-0.89465920) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625784675315483 × 6371000     		do = 191.090878797123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38431012--0.38426219) × cos(-0.89468919) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625761282958258 × 6371000     		du = 191.083735659434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89465920)-sin(-0.89468919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625784675315483-0.625761282958258)×R²
    abs(-0.38426219--0.38431012)×2.33923572249273e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33923572249273e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33923572249273e-05×40589641000000     		ar = 36510.3428609086m²