Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57519 / 85775
↖ ↑ ↗
← S 48.485666°
W 22.019348°		 ← 202.40 m → S 48.485666°
W 22.016602°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
S 48.487487°
W 22.019348°		 ← 202.39 m →
40 979 m²		 S 48.487487°
W 22.016602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438838958740234 y=0.654415130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438838958740234 × 217)
    floor (0.438838958740234 × 131072)
    floor (57519.5)     		tx = 57519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654415130615234 × 217)
    floor (0.654415130615234 × 131072)
    floor (85775.5)     		ty = 85775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57519 / 85775 ti = "17/57519/85775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57519/85775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57519 ÷ 217
    57519 ÷ 131072     		x = 0.438835144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85775 ÷ 217
    85775 ÷ 131072     		y = 0.654411315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438835144042969 × 2 - 1) × π
    -0.122329711914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38431012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654411315917969 × 2 - 1) × π
    -0.308822631835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.970194911410316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38431012} λ = -0.38431012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970194911410316))-π/2
    2×atan(0.379009157694116)-π/2
    2×0.362280907042244-π/2
    0.724561814084488-1.57079632675     		φ = -0.84623451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38431012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.019348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84623451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.485666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57519 KachelY 85775 -0.38431012 -0.84623451 -22.019348 -48.485666
    Oben rechts KachelX + 1 57520 KachelY 85775 -0.38426219 -0.84623451 -22.016602 -48.485666
    Unten links KachelX 57519 KachelY + 1 85776 -0.38431012 -0.84626629 -22.019348 -48.487487
    Unten rechts KachelX + 1 57520 KachelY + 1 85776 -0.38426219 -0.84626629 -22.016602 -48.487487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84623451--0.84626629) × R
    3.17799999999258e-05 × 6371000     		dl = 202.470379999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84623451--0.84626629) × R
    3.17799999999258e-05 × 6371000     		dr = 202.470379999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38431012--0.38426219) × cos(-0.84623451) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662807399135609 × 6371000     		do = 202.396212898959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38431012--0.38426219) × cos(-0.84626629) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662783602257093 × 6371000     		du = 202.388946235828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84623451)-sin(-0.84626629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662807399135609-0.662783602257093)×R²
    abs(-0.38426219--0.38431012)×2.37968785169462e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37968785169462e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37968785169462e-05×40589641000000     		ar = 40978.5024975189m²