Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57518 / 85870
↖ ↑ ↗
← S 48.658315°
W 22.022095°		 ← 201.75 m → S 48.658315°
W 22.019348°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
S 48.660129°
W 22.022095°		 ← 201.74 m →
40 693 m²		 S 48.660129°
W 22.019348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438831329345703 y=0.655139923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438831329345703 × 217)
    floor (0.438831329345703 × 131072)
    floor (57518.5)     		tx = 57518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655139923095703 × 217)
    floor (0.655139923095703 × 131072)
    floor (85870.5)     		ty = 85870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57518 / 85870 ti = "17/57518/85870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57518/85870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57518 ÷ 217
    57518 ÷ 131072     		x = 0.438827514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85870 ÷ 217
    85870 ÷ 131072     		y = 0.655136108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438827514648438 × 2 - 1) × π
    -0.122344970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38435806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655136108398438 × 2 - 1) × π
    -0.310272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.974748916874222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38435806} λ = -0.38435806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974748916874222))-π/2
    2×atan(0.377287072088923)-π/2
    2×0.360774265353201-π/2
    0.721548530706402-1.57079632675     		φ = -0.84924780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38435806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.022095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84924780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.658315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57518 KachelY 85870 -0.38435806 -0.84924780 -22.022095 -48.658315
    Oben rechts KachelX + 1 57519 KachelY 85870 -0.38431012 -0.84924780 -22.019348 -48.658315
    Unten links KachelX 57518 KachelY + 1 85871 -0.38435806 -0.84927946 -22.022095 -48.660129
    Unten rechts KachelX + 1 57519 KachelY + 1 85871 -0.38431012 -0.84927946 -22.019348 -48.660129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84924780--0.84927946) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84924780--0.84927946) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38435806--0.38431012) × cos(-0.84924780) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660548072241618 × 6371000     		do = 201.748383770071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38435806--0.38431012) × cos(-0.84927946) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660524302096939 × 6371000     		du = 201.741123756043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84924780)-sin(-0.84927946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660548072241618-0.660524302096939)×R²
    abs(-0.38431012--0.38435806)×2.37701446782479e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37701446782479e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37701446782479e-05×40589641000000     		ar = 40693.0990615782m²