Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57516 / 9094
↖ ↑ ↗
← N 78.199825°
E135.944824°		 ← 124.92 m → N 78.199825°
E135.950318°		 →
↑
124.94 m
↓
↑
124.94 m
↓
N 78.198701°
E135.944824°		 ← 124.93 m →
15 607 m²		 N 78.198701°
E135.950318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877632141113281 y=0.138771057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877632141113281 × 216)
    floor (0.877632141113281 × 65536)
    floor (57516.5)     		tx = 57516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138771057128906 × 216)
    floor (0.138771057128906 × 65536)
    floor (9094.5)     		ty = 9094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57516 / 9094 ti = "16/57516/9094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57516/9094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57516 ÷ 216
    57516 ÷ 65536     		x = 0.87762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9094 ÷ 216
    9094 ÷ 65536     		y = 0.138763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87762451171875 × 2 - 1) × π
    0.7552490234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.37268478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138763427734375 × 2 - 1) × π
    0.72247314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26971632321042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37268478} λ = 2.37268478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26971632321042))-π/2
    2×atan(9.6766553821509)-π/2
    2×1.46782037312282-π/2
    2.93564074624564-1.57079632675     		φ = 1.36484442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37268478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.944824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36484442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.199825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57516 KachelY 9094 2.37268478 1.36484442 135.944824 78.199825
    Oben rechts KachelX + 1 57517 KachelY 9094 2.37278066 1.36484442 135.950318 78.199825
    Unten links KachelX 57516 KachelY + 1 9095 2.37268478 1.36482481 135.944824 78.198701
    Unten rechts KachelX + 1 57517 KachelY + 1 9095 2.37278066 1.36482481 135.950318 78.198701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36484442-1.36482481) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dl = 124.935310000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36484442-1.36482481) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dr = 124.935310000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37268478-2.37278066) × cos(1.36484442) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204499042339016 × 6371000     		do = 124.918542671288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37268478-2.37278066) × cos(1.36482481) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204518237876936 × 6371000     		du = 124.930268294037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36484442)-sin(1.36482481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204499042339016-0.204518237876936)×R²
    abs(2.37278066-2.37268478)×1.91955379207631e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.91955379207631e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.91955379207631e-05×40589641000000     		ar = 15607.4693265042m²