Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57516 / 87172
↖ ↑ ↗
← S 50.965346°
W 22.027588°		 ← 192.31 m → S 50.965346°
W 22.024841°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
S 50.967076°
W 22.027588°		 ← 192.31 m →
36 989 m²		 S 50.967076°
W 22.024841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438816070556641 y=0.665073394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438816070556641 × 217)
    floor (0.438816070556641 × 131072)
    floor (57516.5)     		tx = 57516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665073394775391 × 217)
    floor (0.665073394775391 × 131072)
    floor (87172.5)     		ty = 87172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57516 / 87172 ti = "17/57516/87172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57516/87172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57516 ÷ 217
    57516 ÷ 131072     		x = 0.438812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87172 ÷ 217
    87172 ÷ 131072     		y = 0.665069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438812255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38445393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.33013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03716276017954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38445393} λ = -0.38445393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03716276017954))-π/2
    2×atan(0.354458941646266)-π/2
    2×0.340641614540904-π/2
    0.681283229081807-1.57079632675     		φ = -0.88951310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38445393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.027588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88951310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.965346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57516 KachelY 87172 -0.38445393 -0.88951310 -22.027588 -50.965346
    Oben rechts KachelX + 1 57517 KachelY 87172 -0.38440600 -0.88951310 -22.024841 -50.965346
    Unten links KachelX 57516 KachelY + 1 87173 -0.38445393 -0.88954329 -22.027588 -50.967076
    Unten rechts KachelX + 1 57517 KachelY + 1 87173 -0.38440600 -0.88954329 -22.024841 -50.967076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88951310--0.88954329) × R
    3.0190000000041e-05 × 6371000     		dl = 192.340490000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88951310--0.88954329) × R
    3.0190000000041e-05 × 6371000     		dr = 192.340490000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38445393--0.38440600) × cos(-0.88951310) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.629790308184758 × 6371000     		do = 192.314046981518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38445393--0.38440600) × cos(-0.88954329) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.629766857356527 × 6371000     		du = 192.306885989004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88951310)-sin(-0.88954329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629790308184758-0.629766857356527)×R²
    abs(-0.38440600--0.38445393)×2.34508282316304e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34508282316304e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34508282316304e-05×40589641000000     		ar = 36989.0893589341m²