Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57515 / 84333
↖ ↑ ↗
← S 45.792425°
W 22.030334°		 ← 212.96 m → S 45.792425°
W 22.027588°		 →
↑
212.98 m
↓
↑
212.98 m
↓
S 45.794340°
W 22.030334°		 ← 212.95 m →
45 356 m²		 S 45.794340°
W 22.027588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438808441162109 y=0.643413543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438808441162109 × 217)
    floor (0.438808441162109 × 131072)
    floor (57515.5)     		tx = 57515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643413543701172 × 217)
    floor (0.643413543701172 × 131072)
    floor (84333.5)     		ty = 84333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57515 / 84333 ti = "17/57515/84333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57515/84333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57515 ÷ 217
    57515 ÷ 131072     		x = 0.438804626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84333 ÷ 217
    84333 ÷ 131072     		y = 0.643409729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438804626464844 × 2 - 1) × π
    -0.122390747070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38450187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643409729003906 × 2 - 1) × π
    -0.286819458007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.901069902158195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38450187} λ = -0.38450187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901069902158195))-π/2
    2×atan(0.40613490259946)-π/2
    2×0.385783872693793-π/2
    0.771567745387585-1.57079632675     		φ = -0.79922858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38450187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.030334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79922858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.792425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57515 KachelY 84333 -0.38450187 -0.79922858 -22.030334 -45.792425
    Oben rechts KachelX + 1 57516 KachelY 84333 -0.38445393 -0.79922858 -22.027588 -45.792425
    Unten links KachelX 57515 KachelY + 1 84334 -0.38450187 -0.79926201 -22.030334 -45.794340
    Unten rechts KachelX + 1 57516 KachelY + 1 84334 -0.38445393 -0.79926201 -22.027588 -45.794340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79922858--0.79926201) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dl = 212.982530000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79922858--0.79926201) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dr = 212.982530000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38450187--0.38445393) × cos(-0.79922858) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.697259884826747 × 6371000     		do = 212.961116295631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38450187--0.38445393) × cos(-0.79926201) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.69723592119722 × 6371000     		du = 212.953797186349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79922858)-sin(-0.79926201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697259884826747-0.69723592119722)×R²
    abs(-0.38445393--0.38450187)×2.39636295270573e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39636295270573e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39636295270573e-05×40589641000000     		ar = 45356.2179233308m²