Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57514 / 44270
↖ ↑ ↗
← N 50.320916°
W 22.033081°		 ← 195.01 m → N 50.320916°
W 22.030334°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 50.319162°
W 22.033081°		 ← 195.02 m →
38 031 m²		 N 50.319162°
W 22.030334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438800811767578 y=0.337757110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438800811767578 × 217)
    floor (0.438800811767578 × 131072)
    floor (57514.5)     		tx = 57514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337757110595703 × 217)
    floor (0.337757110595703 × 131072)
    floor (44270.5)     		ty = 44270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57514 / 44270 ti = "17/57514/44270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57514/44270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57514 ÷ 217
    57514 ÷ 131072     		x = 0.438796997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44270 ÷ 217
    44270 ÷ 131072     		y = 0.337753295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438796997070312 × 2 - 1) × π
    -0.122406005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38454981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337753295898438 × 2 - 1) × π
    0.324493408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01942610732011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38454981} λ = -0.38454981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01942610732011))-π/2
    2×atan(2.77160370438175)-π/2
    2×1.2245309929177-π/2
    2.44906198583539-1.57079632675     		φ = 0.87826566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38454981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.033081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87826566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.320916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57514 KachelY 44270 -0.38454981 0.87826566 -22.033081 50.320916
    Oben rechts KachelX + 1 57515 KachelY 44270 -0.38450187 0.87826566 -22.030334 50.320916
    Unten links KachelX 57514 KachelY + 1 44271 -0.38454981 0.87823505 -22.033081 50.319162
    Unten rechts KachelX + 1 57515 KachelY + 1 44271 -0.38450187 0.87823505 -22.030334 50.319162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87826566-0.87823505) × R
    3.0609999999931e-05 × 6371000     		dl = 195.01630999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87826566-0.87823505) × R
    3.0609999999931e-05 × 6371000     		dr = 195.01630999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38454981--0.38450187) × cos(0.87826566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.638486908541232 × 6371000     		do = 195.01033652139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38454981--0.38450187) × cos(0.87823505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63851046669855 × 6371000     		du = 195.017531789022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87826566)-sin(0.87823505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638486908541232-0.63851046669855)×R²
    abs(-0.38450187--0.38454981)×2.35581573182486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35581573182486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35581573182486e-05×40589641000000     		ar = 38030.8978404494m²