Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57513 / 9001
↖ ↑ ↗
← N 78.303841°
E135.928345°		 ← 123.83 m → N 78.303841°
E135.933838°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
N 78.302728°
E135.928345°		 ← 123.84 m →
15 330 m²		 N 78.302728°
E135.933838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877586364746094 y=0.137351989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877586364746094 × 216)
    floor (0.877586364746094 × 65536)
    floor (57513.5)     		tx = 57513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137351989746094 × 216)
    floor (0.137351989746094 × 65536)
    floor (9001.5)     		ty = 9001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57513 / 9001 ti = "16/57513/9001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57513/9001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57513 ÷ 216
    57513 ÷ 65536     		x = 0.877578735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9001 ÷ 216
    9001 ÷ 65536     		y = 0.137344360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877578735351562 × 2 - 1) × π
    0.755157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.37239716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137344360351562 × 2 - 1) × π
    0.725311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27863258653975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37239716} λ = 2.37239716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27863258653975))-π/2
    2×atan(9.76332078128976)-π/2
    2×1.46872808931921-π/2
    2.93745617863842-1.57079632675     		φ = 1.36665985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37239716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.928345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36665985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.303841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57513 KachelY 9001 2.37239716 1.36665985 135.928345 78.303841
    Oben rechts KachelX + 1 57514 KachelY 9001 2.37249304 1.36665985 135.933838 78.303841
    Unten links KachelX 57513 KachelY + 1 9002 2.37239716 1.36664042 135.928345 78.302728
    Unten rechts KachelX + 1 57514 KachelY + 1 9002 2.37249304 1.36664042 135.933838 78.302728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36665985-1.36664042) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36665985-1.36664042) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37239716-2.37249304) × cos(1.36665985) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.20272164223331 × 6371000     		do = 123.83281518674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37239716-2.37249304) × cos(1.36664042) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.202740668758381 × 6371000     		du = 123.844437567739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36665985)-sin(1.36664042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20272164223331-0.202740668758381)×R²
    abs(2.37249304-2.37239716)×1.902652507077e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.902652507077e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.902652507077e-05×40589641000000     		ar = 15329.8015170354m²