Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57513 / 87240
↖ ↑ ↗
← S 51.082822°
W 22.035828°		 ← 191.87 m → S 51.082822°
W 22.033081°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
S 51.084547°
W 22.035828°		 ← 191.86 m →
36 818 m²		 S 51.084547°
W 22.033081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438793182373047 y=0.665592193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438793182373047 × 217)
    floor (0.438793182373047 × 131072)
    floor (57513.5)     		tx = 57513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665592193603516 × 217)
    floor (0.665592193603516 × 131072)
    floor (87240.5)     		ty = 87240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57513 / 87240 ti = "17/57513/87240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57513/87240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57513 ÷ 217
    57513 ÷ 131072     		x = 0.438789367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87240 ÷ 217
    87240 ÷ 131072     		y = 0.66558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438789367675781 × 2 - 1) × π
    -0.122421264648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38459775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.3311767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0404224693537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38459775} λ = -0.38459775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0404224693537))-π/2
    2×atan(0.353305389725648)-π/2
    2×0.339616447059374-π/2
    0.679232894118748-1.57079632675     		φ = -0.89156343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38459775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.035828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89156343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.082822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57513 KachelY 87240 -0.38459775 -0.89156343 -22.035828 -51.082822
    Oben rechts KachelX + 1 57514 KachelY 87240 -0.38454981 -0.89156343 -22.033081 -51.082822
    Unten links KachelX 57513 KachelY + 1 87241 -0.38459775 -0.89159355 -22.035828 -51.084547
    Unten rechts KachelX + 1 57514 KachelY + 1 87241 -0.38454981 -0.89159355 -22.033081 -51.084547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89156343--0.89159355) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dl = 191.894519999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89156343--0.89159355) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dr = 191.894519999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38459775--0.38454981) × cos(-0.89156343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628196360546435 × 6371000     		do = 191.867338285298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38459775--0.38454981) × cos(-0.89159355) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628172925249731 × 6371000     		du = 191.86018054246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89156343)-sin(-0.89159355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628196360546435-0.628172925249731)×R²
    abs(-0.38454981--0.38459775)×2.34352967034557e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34352967034557e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34352967034557e-05×40589641000000     		ar = 36817.6040208822m²