Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57512 / 81000
↖ ↑ ↗
← S 39.044786°
W 22.038574°		 ← 237.16 m → S 39.044786°
W 22.035828°		 →
↑
237.19 m
↓
↑
237.19 m
↓
S 39.046919°
W 22.038574°		 ← 237.15 m →
56 252 m²		 S 39.046919°
W 22.035828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438785552978516 y=0.617984771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438785552978516 × 217)
    floor (0.438785552978516 × 131072)
    floor (57512.5)     		tx = 57512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617984771728516 × 217)
    floor (0.617984771728516 × 131072)
    floor (81000.5)     		ty = 81000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57512 / 81000 ti = "17/57512/81000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57512/81000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57512 ÷ 217
    57512 ÷ 131072     		x = 0.43878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81000 ÷ 217
    81000 ÷ 131072     		y = 0.61798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.1224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38464568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.2359619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.741296215724548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38464568} λ = -0.38464568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741296215724548))-π/2
    2×atan(0.476495873605695)-π/2
    2×0.444668127264128-π/2
    0.889336254528256-1.57079632675     		φ = -0.68146007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38464568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.038574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68146007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.044786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57512 KachelY 81000 -0.38464568 -0.68146007 -22.038574 -39.044786
    Oben rechts KachelX + 1 57513 KachelY 81000 -0.38459775 -0.68146007 -22.035828 -39.044786
    Unten links KachelX 57512 KachelY + 1 81001 -0.38464568 -0.68149730 -22.038574 -39.046919
    Unten rechts KachelX + 1 57513 KachelY + 1 81001 -0.38459775 -0.68149730 -22.035828 -39.046919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68146007--0.68149730) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dl = 237.192329999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68146007--0.68149730) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dr = 237.192329999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38464568--0.38459775) × cos(-0.68146007) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.776653808430218 × 6371000     		do = 237.160583549353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38464568--0.38459775) × cos(-0.68149730) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.776630355685044 × 6371000     		du = 237.153421971478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68146007)-sin(-0.68149730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776653808430218-0.776630355685044)×R²
    abs(-0.38459775--0.38464568)×2.3452745174013e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3452745174013e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3452745174013e-05×40589641000000     		ar = 56251.8220669758m²