Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57511 / 87267
↖ ↑ ↗
← S 51.129384°
W 22.041321°		 ← 191.67 m → S 51.129384°
W 22.038574°		 →
↑
191.64 m
↓
↑
191.64 m
↓
S 51.131108°
W 22.041321°		 ← 191.67 m →
36 732 m²		 S 51.131108°
W 22.038574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438777923583984 y=0.665798187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438777923583984 × 217)
    floor (0.438777923583984 × 131072)
    floor (57511.5)     		tx = 57511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665798187255859 × 217)
    floor (0.665798187255859 × 131072)
    floor (87267.5)     		ty = 87267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57511 / 87267 ti = "17/57511/87267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57511/87267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57511 ÷ 217
    57511 ÷ 131072     		x = 0.438774108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87267 ÷ 217
    87267 ÷ 131072     		y = 0.665794372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438774108886719 × 2 - 1) × π
    -0.122451782226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38469362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665794372558594 × 2 - 1) × π
    -0.331588745117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.04171676564344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38469362} λ = -0.38469362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04171676564344))-π/2
    2×atan(0.352848403672053)-π/2
    2×0.339210115625159-π/2
    0.678420231250318-1.57079632675     		φ = -0.89237610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38469362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.041321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89237610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.129384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57511 KachelY 87267 -0.38469362 -0.89237610 -22.041321 -51.129384
    Oben rechts KachelX + 1 57512 KachelY 87267 -0.38464568 -0.89237610 -22.038574 -51.129384
    Unten links KachelX 57511 KachelY + 1 87268 -0.38469362 -0.89240618 -22.041321 -51.131108
    Unten rechts KachelX + 1 57512 KachelY + 1 87268 -0.38464568 -0.89240618 -22.038574 -51.131108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89237610--0.89240618) × R
    3.00800000000434e-05 × 6371000     		dl = 191.639680000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89237610--0.89240618) × R
    3.00800000000434e-05 × 6371000     		dr = 191.639680000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38469362--0.38464568) × cos(-0.89237610) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627563851349325 × 6371000     		do = 191.674153695714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38469362--0.38464568) × cos(-0.89240618) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627540431827256 × 6371000     		du = 191.667000770855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89237610)-sin(-0.89240618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627563851349325-0.627540431827256)×R²
    abs(-0.38464568--0.38469362)×2.34195220688571e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34195220688571e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34195220688571e-05×40589641000000     		ar = 36731.6880891419m²