Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57511 / 87239
↖ ↑ ↗
← S 51.081097°
W 22.041321°		 ← 191.87 m → S 51.081097°
W 22.038574°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
S 51.082822°
W 22.041321°		 ← 191.87 m →
36 807 m²		 S 51.082822°
W 22.038574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438777923583984 y=0.665584564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438777923583984 × 217)
    floor (0.438777923583984 × 131072)
    floor (57511.5)     		tx = 57511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665584564208984 × 217)
    floor (0.665584564208984 × 131072)
    floor (87239.5)     		ty = 87239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57511 / 87239 ti = "17/57511/87239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57511/87239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57511 ÷ 217
    57511 ÷ 131072     		x = 0.438774108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87239 ÷ 217
    87239 ÷ 131072     		y = 0.665580749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438774108886719 × 2 - 1) × π
    -0.122451782226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38469362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665580749511719 × 2 - 1) × π
    -0.331161499023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.04037453245408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38469362} λ = -0.38469362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04037453245408))-π/2
    2×atan(0.353322326496596)-π/2
    2×0.339631504233056-π/2
    0.679263008466113-1.57079632675     		φ = -0.89153332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38469362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.041321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89153332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.081097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57511 KachelY 87239 -0.38469362 -0.89153332 -22.041321 -51.081097
    Oben rechts KachelX + 1 57512 KachelY 87239 -0.38464568 -0.89153332 -22.038574 -51.081097
    Unten links KachelX 57511 KachelY + 1 87240 -0.38469362 -0.89156343 -22.041321 -51.082822
    Unten rechts KachelX + 1 57512 KachelY + 1 87240 -0.38464568 -0.89156343 -22.038574 -51.082822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89153332--0.89156343) × R
    3.01100000000831e-05 × 6371000     		dl = 191.83081000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89153332--0.89156343) × R
    3.01100000000831e-05 × 6371000     		dr = 191.83081000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38469362--0.38464568) × cos(-0.89153332) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628219787492871 × 6371000     		do = 191.874493477749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38469362--0.38464568) × cos(-0.89156343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628196360546435 × 6371000     		du = 191.867338285298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89153332)-sin(-0.89156343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628219787492871-0.628196360546435)×R²
    abs(-0.38464568--0.38469362)×2.34269464356451e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34269464356451e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34269464356451e-05×40589641000000     		ar = 36806.753211903m²