Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57511 / 17826
↖ ↑ ↗
← N 78.401433°
W 22.041321°		 ← 61.41 m → N 78.401433°
W 22.038574°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.400881°
W 22.041321°		 ← 61.41 m →
3 771 m²		 N 78.400881°
W 22.038574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438777923583984 y=0.136005401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438777923583984 × 217)
    floor (0.438777923583984 × 131072)
    floor (57511.5)     		tx = 57511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136005401611328 × 217)
    floor (0.136005401611328 × 131072)
    floor (17826.5)     		ty = 17826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57511 / 17826 ti = "17/57511/17826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57511/17826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57511 ÷ 217
    57511 ÷ 131072     		x = 0.438774108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17826 ÷ 217
    17826 ÷ 131072     		y = 0.136001586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438774108886719 × 2 - 1) × π
    -0.122451782226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38469362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136001586914062 × 2 - 1) × π
    0.727996826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28706948087288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38469362} λ = -0.38469362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28706948087288))-π/2
    2×atan(9.84604134872685)-π/2
    2×1.46957973655737-π/2
    2.93915947311474-1.57079632675     		φ = 1.36836315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38469362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.041321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36836315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.401433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57511 KachelY 17826 -0.38469362 1.36836315 -22.041321 78.401433
    Oben rechts KachelX + 1 57512 KachelY 17826 -0.38464568 1.36836315 -22.038574 78.401433
    Unten links KachelX 57511 KachelY + 1 17827 -0.38469362 1.36835351 -22.041321 78.400881
    Unten rechts KachelX + 1 57512 KachelY + 1 17827 -0.38464568 1.36835351 -22.038574 78.400881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36836315-1.36835351) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dl = 61.41644000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36836315-1.36835351) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dr = 61.41644000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38469362--0.38464568) × cos(1.36836315) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201053415601072 × 6371000     		do = 61.4068882395159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38469362--0.38464568) × cos(1.36835351) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201062858745625 × 6371000     		du = 61.4097724189289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36836315)-sin(1.36835351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201053415601072-0.201062858745625)×R²
    abs(-0.38464568--0.38469362)×9.44314455278428e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.44314455278428e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.44314455278428e-06×40589641000000     		ar = 3771.48103519007m²