Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57510 / 87263
↖ ↑ ↗
← S 51.122489°
W 22.044068°		 ← 191.70 m → S 51.122489°
W 22.041321°		 →
↑
191.70 m
↓
↑
191.70 m
↓
S 51.124213°
W 22.044068°		 ← 191.70 m →
36 749 m²		 S 51.124213°
W 22.041321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438770294189453 y=0.665767669677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438770294189453 × 217)
    floor (0.438770294189453 × 131072)
    floor (57510.5)     		tx = 57510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665767669677734 × 217)
    floor (0.665767669677734 × 131072)
    floor (87263.5)     		ty = 87263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57510 / 87263 ti = "17/57510/87263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57510/87263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57510 ÷ 217
    57510 ÷ 131072     		x = 0.438766479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87263 ÷ 217
    87263 ÷ 131072     		y = 0.665763854980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438766479492188 × 2 - 1) × π
    -0.122467041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38474156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665763854980469 × 2 - 1) × π
    -0.331527709960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.04152501804496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38474156} λ = -0.38474156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04152501804496))-π/2
    2×atan(0.352916067993113)-π/2
    2×0.339270287047364-π/2
    0.678540574094729-1.57079632675     		φ = -0.89225575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38474156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.044068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89225575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.122489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57510 KachelY 87263 -0.38474156 -0.89225575 -22.044068 -51.122489
    Oben rechts KachelX + 1 57511 KachelY 87263 -0.38469362 -0.89225575 -22.041321 -51.122489
    Unten links KachelX 57510 KachelY + 1 87264 -0.38474156 -0.89228584 -22.044068 -51.124213
    Unten rechts KachelX + 1 57511 KachelY + 1 87264 -0.38469362 -0.89228584 -22.041321 -51.124213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89225575--0.89228584) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dl = 191.703389999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89225575--0.89228584) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dr = 191.703389999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38474156--0.38469362) × cos(-0.89225575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.627657547113838 × 6371000     		do = 191.702770793703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38474156--0.38469362) × cos(-0.89228584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.627634122078673 × 6371000     		du = 191.695616185003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89225575)-sin(-0.89228584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627657547113838-0.627634122078673)×R²
    abs(-0.38469362--0.38474156)×2.34250351647258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34250351647258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34250351647258e-05×40589641000000     		ar = 36749.3852547834m²